공차 구간에 대한 표본 크기에 대한 방법 및 공식

공차 구간(양측)의 정의

X₁, X₂, ..., X_n을 연속형 분포에서 추출한 크기 n의 랜덤 표본의 순서가 있는 값이라고 정의합니다.

분포 함수를 크기가 1보다 크거나 같은 모수 공간에서 Ω에 대한 F(χ,θ)로 정의합니다.

L < U를 α 및 P(0 < α < 1, 0 < P < 1) 값이 지정된 경우, Ω의 모든 θ에 대해 다음 조건을 충족하는 표본을 기반으로 하는 두 통계량으로 정의합니다.

그런 다음, 구간 [ L, U]는 내용 = P x 100%이고 신뢰 수준 = 100(1 - α)%인 양측 공차 구간입니다. 이러한 구간을 양측 (1 - α, P) 공차 구간이라고 합니다. 예를 들어, α = 0.10이고 P = 0.85인 경우 생성되는 구간을 양측 (90% , 0.85) 공차 구간이라고 합니다.

표본 크기 및 오차 한계

C = F( U) – F( L)라고 지정합니다. 양측 (1 –α , P) 공차 구간은 다음과 같습니다.

여기서 C는 공차 구간의 내용(범위라고도 함)입니다.

다시 말하면 지정된 P, α, ε, α* 값에 대해 표본 크기는 다음과 같이 결정됩니다.

및

이 방법은 모든 P* > P에 대해 P( C>P*)가 표본 크기의 감소 함수라는 사실을 기반으로 하므로, 정밀도를 평가하기 위해 사용할 수 있습니다.

작은 ε 및 α*를 선택하면 공차 구간의 크기가 감소하게 되므로, 더 큰 표본 크기가 필요합니다. 일반적인 ε 및 α* 값은 0.10, 0.05 또는 0.01입니다.

단측 구간

Faulkenberry and Daly¹에 따르면 지정된 α, P, ε 및 α* 값에 대해 단측 구간에 필요한 표본 크기는 다음 방정식을 충족하는 n의 최소값을 찾아 얻습니다.

여기서 t_x,y(d)는 자유도가 x이고 비중심 모수가 d인 비중심 t-분포의 y번째 백분위수입니다. 비중심 모수 δ 및 δ*는 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 z_p는 표준 정규 분포의 P번째 백분위수입니다.

Minitab에서는 반복 알고리즘을 사용하여 필요한 n의 최소값을 찾습니다.

양측 구간

I(k, n, P) 함수에 의존하는 양측 구간의 표본 크기 계산에 대해 알아보려면 공차 구간 (정규 분포) 방법 및 공식으로 이동하여 "정규 분포에 대한 정확한 공차 구간"을 클릭하십시오.

Minitab에서는 반복 알고리즘을 사용하여 필요한 n의 최소값을 찾습니다. 자세한 내용은 Odeh, Chou, and Owen²를 참조하십시오.

표기법

용어	설명
1 – α	공차 구간의 신뢰 수준
P	공차 구간의 범위(구간 내 모집단의 목표 최소 백분율)
ε	공차 구간의 오차 한계
α*	공차 구간에 대한 오차 한계 확률
n	표본의 관측치 수

Minitab에서는 오차 한계에 대한 구간을 계산한 후 다음 공식을 사용하여 구간 내 모집단의 최대 백분율에 대한 구간을 계산합니다.

P* = P + ε

오차 한계 계산은 공차 구간의 표본 크기에 대한 일반 공식에 설명된 표본 크기 계산과 유사합니다.

단측 구간

지정된 n, α, P 및 α * 값에 대해 단측 구간에 대한 오차 한계 ε은 먼저 다음 방정식에서 δ*를 풀어 얻습니다.

여기서 t_x,y(d)는 자유도가 x이고 비중심 모수가 d인 비중심 t-분포의 y번째 백분위수입니다. Minitab에서는 숫자 근 찾기 루틴을 사용하여 δ*를 계산합니다. δ* 값을 결정한 상태에서 ε 값은 다음 공식에서 얻을 수 있습니다.

양측 구간

양측 구간의 오차 한계 계산은 정규 분포의 정확한 공차 구간에 설명된 I(k, n, P) 함수에 의존합니다.

지정된 n, α, P 및 α* 값에 대해 양측 구간에 대한 오차 한계 ε은 Odeh, Chou, and Owen¹에 설명된 알고리즘을 사용하여 얻습니다. 첫째, k에 대한 다음 방정식을 풉니다.

둘째, k 값을 사용하여 ε에 대한 다음 방정식을 풉니다.

표기법

용어	설명
1 – α	공차 구간의 신뢰 수준
P	공차 구간의 범위(구간 내 모집단의 목표 최소 백분율)
P*	구간 내 모집단의 최대 백분율
ε	공차 구간의 오차 한계
α*	공차 구간에 대한 오차 한계 확률
n	표본의 관측치 수

단측 (1 – α, P) 공차 하한은 X_k로 지정되며, 여기서 k는 다음 조건을 충족하는 가장 큰 정수입니다.

여기서 Y는 모수가 n 및 1 – P인 이항 랜덤 변수입니다. 마찬가지로 n – k는 P(W ≤ n – k) ≥ 1 – α인 가장 작은 정수이며, 여기서 W = n – Y는 모수가 n 및 P인 이항 랜덤 변수입니다.

즉 n – k = F_W^–1 (1 – α)이며, 여기서 F_W^–1(.)은 W = n – Y의 역 누적분포함수를 나타냅니다.

마찬가지로, 단측 (1 – α, P) 공차 상한은 X_{( n – k + 1 )}으로 지정되며, 여기서 k는 하한에 대한 위의 조건을 만족합니다.

두 가지 경우 모두 실제 또는 유효 범위는 P(Y > k)로 지정됩니다.

또한 양측 (1 – α, P) 공차 구간은 (X_r, X_s)로 지정되며, 여기서 k = s – r은 다음 조건을 충족하는 가장 작은 정수입니다.

여기서 V는 모수가 n 및 P인 이항 랜덤 변수입니다. 즉 k – 1 = F_v^–1(1 – α)이며, 여기서 F_v^–1(.)은 W = n – Y의 역 누적분포함수를 나타냅니다.

r = ( n – k + 1) / 2인 s = n – r + 1을 사용하는 것이 일반적입니다. r과 s는 가장 가까운 정수로 반내림됩니다. 실제 또는 유효 범위는 P( V ≤ k – 1)로 지정됩니다.

기준

비모수 공차 구간의 표본 크기 계산 기준은 (단측과 양측 모두) 정규 데이터에 대해 설명된 기준과 유사합니다. 더 구체적으로 말하면 단측 (1 – α, P) 공차 하한의 경우 기준은 표본 크기 n과, 다음 조건을 충족하는 가장 큰 정수 k를 결정하는 것으로 구성됩니다.

여기서 Y는 모수가 n, 1 – P인 이항 랜덤 변수이고, Y*는 모수가 n 및 1– P*인 이항 랜덤 변수이며, P* = P + ε이고 ε > 0입니다.

이 조건은 n과, 다음 조건을 충족하는 가장 큰 정수 k를 찾는 것과 같습니다.

여기서 F_U(.)는 모수가 α = k 및 b = n – k + 1인 랜덤 변수 U의 누적분포함수를 나타냅니다.

Hahn and Meeker¹에 언급된 대로 기준에 따라 단측 및 양측 공차 구간에 대해 동일한 표본 크기가 요구됩니다. 따라서 단측 및 양측 구간 모두에 위의 기준을 사용합니다.

지정된 ε, P, α* 값에 대해 Minitab에서는 반복 알고리즘을 사용하여 위의 두 조건을 충족하는 최소 표본 크기를 찾습니다. 지정된 n, P, α* 값에 대해 Minitab에서는 또한 반복 알고리즘을 사용하여 위의 조건을 충족하는 오차 한계를 계산한 후 다음 공식을 사용하여 구간 내 모집단의 최대 허용 백분율에 대한 구간을 계산합니다.

P* = P + ε

자세한 내용은 Hahn and Meeker¹를 참조하십시오.

표기법

용어	설명
1 - α	공차 구간의 신뢰 수준
P	공차 구간의 범위(구간 내 모집단의 목표 최소 백분율)
P*	구간 내 모집단의 최대 백분율
ε	공차 구간의 오차 한계
α*	공차 구간에 대한 오차 한계 확률
n	표본의 관측치 수