Méthodes et formules pour Effectif d'échantillon des intervalles de tolérance

Définition d'un intervalle de tolérance (bilatéral)

Soit X₁, X₂, ..., X_n les valeurs ordonnées d'un effectif d'échantillon aléatoire n d'une loi de distribution continue.

Soit la fonction de répartition F(χ,θ) pour Ω dans un espace de paramètre avec une dimension supérieure ou égale à 1.

Soit L < U deux statistiques basées sur l'échantillon de sorte que pour toutes les valeurs données α et P, avec 0 < α < 1 et 0 < P < 1, la formule suivante est valide pour tous les θ dans Ω :

Enfin, l'intervalle [L, U] est un intervalle de tolérance bilatéral avec un contenu égal à P x 100 % et un niveau de confiance égal à 100(1 - α) %. Cet intervalle peut être appelé intervalle de tolérance bilatéral (1 - α, P). Par exemple, si α = 0,10 et que P = 0,85, l'intervalle obtenu est appelé intervalle de tolérance bilatéral (90 %, 0,85).

Effectif de l'échantillon et marge d'erreur

Soit C = F(U) – F(L). Un intervalle de tolérance bilatéral (1 –α, P) est exprimé comme suit :

où C est le contenu (également appelé couverture) de l'intervalle de tolérance.

En d'autres termes, pour les valeurs données de P, α, ε et α*, l'effectif de l'échantillon est déterminé de sorte que

et

Cette approche repose sur le fait que, pour tout élément P* > P, P(C > P*), il existe une fonction décroissante de l'effectif de l'échantillon et il peut donc être utilisé pour déterminer la précision.

Choisir une petite valeur de ε et de α* réduit l'intervalle de tolérance, raison pour laquelle un effectif d'échantillon plus important est nécessaire. Les valeurs typiques de ε et de α* sont 0,10, 0,05 ou 0,01.

Intervalle unilatéral

Les auteurs Faulkenberry et Daly¹ montrent que pour des valeurs données de α, P, ε et α*, l'effectif d'échantillon requis pour un intervalle unilatéral est obtenu par la recherche de la valeur minimale de n qui satisfait l'équation suivante :

où la notation t_x,y(d) représente le y^e percentile d'une loi t non centrale avec x degrés de liberté et le paramètre de non-centralité d. Les paramètres de non-centralité δ et δ* sont calculés comme suit :

où z_p correspond au P^e percentile de la loi normale standard.

Minitab utilise un algorithme itératif pour obtenir la valeur minimale requise pour n.

Intervalle bilatéral

Pour connaître les calculs de l'effectif d'échantillon d'un intervalle bilatéral reposant sur la fonction I( k, n, P), reportez-vous à la rubrique Méthodes et formules pour les intervalles de tolérance (loi normale) et cliquez sur "Intervalles de tolérance exacts pour les lois normales".

Minitab utilise un algorithme itératif pour obtenir la valeur minimale requise pour n. Pour plus d'informations, reportez-vous à la publication d'Odeh, Chou et Owen².

Notation

Terme	Description
1 – α	niveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P	couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
ε	marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
α*	probabilité de la marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
n	nombre d'observations dans l'échantillon

Minitab calcule les intervalles pour la marge d'erreur, puis l'intervalle pour le pourcentage maximal de la population dans l'intervalle à l'aide de la formule suivante.

P* = P + ε

Les calculs de la marge d'erreur sont semblables à ceux de l'effectif d'échantillon décrits dans la rubrique Formules générales - Effectif d'échantillon pour les intervalles de tolérance.

Intervalles unilatéraux

Pour les valeurs données de n, α, P et α *, la marge d'erreur ε d'un intervalle unilatéral est obtenue par la résolution de δ* dans l'équation suivante :

où la notation t_x,y(d) représente le y^e percentile d'une loi t non centrale avec x degrés de liberté et le paramètre de non-centralité d. Minitab utilise un programme de détection de racine numérique pour calculer δ*. Une fois la valeur de δ* déterminée, la valeur de ε peut être obtenue à partir de la formule suivante :

Intervalles bilatéraux

Les calculs de la marge d'erreur d'un intervalle bilatéral reposent sur la fonction I (k, n, P), qui est décrite dans la rubrique Intervalles de tolérance exacts pour les lois normales.

Pour les valeurs données de n, α, P et α*, la marge d'erreur ε d'un intervalle bilatéral est obtenue à l'aide de l'algorithme décrit par les auteurs Odeh, Chou et Owen¹. Commencez par résoudre l'équation suivante pour k :

Ensuite, utilisez la valeur de k pour résoudre l'équation suivante pour ε :

Notation

Terme	Description
1 – α	niveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P	couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
P*	pourcentage maximal de la population dans l'intervalle
ε	marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
α*	probabilité de la marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
n	nombre d'observations dans l'échantillon

Une limite inférieure de tolérance unilatérale (1 – α, P) est exprimée par X_k, où k est le plus grand entier satisfaisant la condition suivante :

où V est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et 1 – P. De même, n – k est le plus petit entier tel que P(W ≤ n – k) ≥ 1 – α, où W = n – Y est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et P.

C'est-à-dire n – k = F_W^–1 (1 – α), où F_W^–1(.) représente la fonction de répartition inverse de W = n – Y.

De même, une limite supérieure de tolérance unilatérale (1 – α, P) est exprimée par X_{(n – k + 1)}, où k satisfait les conditions ci-dessus pour la limite inférieure.

Dans les deux cas, la couverture réelle ou effective est exprimée par P(Y > k).

En outre, un intervalle de tolérance bilatéral (1 – α, P) peut être exprimé par (X_r, X_s), où k = s – r est le plus petit entier satisfaisant la condition suivante :

où V est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et P. C'est-à-dire k – 1 = F_v^–1(1 – α), o* F_v^–1(.) représente la fonction de répartition inverse de W = n – Y.

Prendre s = n – r + 1 de sorte que r = (n – k + 1) / 2 est devenu une pratique courante. r et s sont arrondis à l'entier inférieur. La couverture réelle ou effective est exprimée par P(V ≤ k – 1).

Critère

Le critère des calculs d'effectif d'échantillon pour les intervalles de tolérance non paramétriques (unilatéraux ou bilatéraux) est semblable à celui décrit pour les données normales. Plus particulièrement, pour une limite inférieure de tolérance unilatérale (1 – α, P), le critère consiste à déterminer l'effectif de l'échantillon, n, et le plus grand entier k satisfaisant les conditions suivantes :

où Y est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et 1 – P, et où Y* est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et 1– P*, et P* = P + ε et ε > 0.

Cette condition équivaut à déterminer n et le plus grand entier k satisfaisant les conditions suivantes :

où F_U(.) représente la fonction de répartition d'une variable aléatoire U qui est distribuée comme une loi bêta avec les paramètres α = k et b = n – k + 1.

Comme souligné dans l'ouvrage de Hahn et Meeker¹, le critère génère des exigences d'effectif d'échantillon identiques pour les intervalles de tolérance unilatéraux et bilatéraux. Par conséquent, nous utilisons le critère ci-dessus pour les intervalles de tolérance unilatéraux et bilatéraux.

Pour des valeurs données de ε, P et α*, Minitab utilise un algorithme itératif pour trouver l'effectif d'échantillon minimal satisfaisant les deux conditions ci-dessus. Pour des valeurs données de n, P et α*, Minitab calcule également la marge d'erreur qui satisfait les conditions ci-dessus à l'aide d'un algorithme itératif, puis calcule l'intervalle associé au pourcentage maximal de la population dans l'intervalle à l'aide de la formule suivante.

P* = P + ε

Pour plus d'informations, reportez-vous à l'ouvrage de Hahn et Meeker¹.

Notation

Terme	Description
1 - α	niveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P	couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
P*	pourcentage maximal de la population dans l'intervalle
ε	marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
α*	probabilité de la marge d'erreur de l'intervalle de tolérance
n	nombre d'observations dans l'échantillon