Méthodes et formules pour la fonction Intervalles de tolérance (loi normale)

Définitions générales

Soient X ₁, X ₂, ..., X _n les statistiques ordonnées reposant sur un échantillon aléatoire d'effectif n d'une loi de distribution continue.

Soit la fonction de distribution F(x;θ) pour Ω dans un espace de paramètre avec une dimension supérieure ou égale à 1.

Soient L < U deux statistiques basées sur l'échantillon de sorte que pour toutes les valeurs données α et P, avec 0 < α < 1 et 0 < P < 1, la formule suivante est valide pour tous les θ dans Ω :

Enfin, l'intervalle [L, U] est un intervalle de tolérance bilatéral avec un contenu égal à P x 100 % et un niveau de confiance égal à 100(1 – α) %. Cet intervalle peut être appelé intervalle de tolérance bilatéral (1 – α, P). Par exemple, si α = 0,10 et que P = 0,85, l'intervalle obtenu est appelé intervalle de tolérance bilatéral (90 %, 0,85).

Si L = –∞ et U < +∞,l'intervalle (-∞, U] est appelé borne de tolérance supérieure unilatérale (1 – α, P). Si L > -∞ et U = +∞, l'intervalle [L, +∞) est appelé borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P).

Facteur de tolérance pour des intervalles unilatéraux

où t_n-1,1-α(δ) est le percentile 1 – α de la loi T non centrée avec n – 1 degré de liberté et le paramètre de non-centralité, δ, qui est fourni par la formule suivante :

Facteur de tolérance pour des intervalles bilatéraux

Le facteur de tolérance exact pour un intervalle bilatéral est obtenu en résolvant l'équation suivante pour k. Consultez l'ouvrage de Krishnamoorthy et Mathew¹.

où F_{n – 1} est la fonction de répartition pour une loi du Khi deux avec n – 1 degrés de liberté, et où χ²_1,p est le P^e percentile de la loi du Khi deux non centrée avec 1 degré de liberté et le paramètre de non-centralité z². La partie gauche de l'équation peut être réécrite comme suit :

où :

où Φ(z) représente la fonction de densité de probabilité de la loi normale standard. Minitab utilise une quadrature à 16 points de Gauss-Laguerre pour évaluer I(k, n, P).

Notation

Terme	Description
1 - α	niveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P	couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
L	limite inférieure de l'intervalle de tolérance
U	limite supérieure de l'intervalle de tolérance
	moyenne de l'échantillon
k	facteur de tolérance (également appelé facteur k)
S	écart type de l'échantillon
n	nombre d'observations dans l'échantillon
ZP	Pe percentile de la loi normale standard

Intervalles unilatéraux

Soit k l'entier le plus grand remplissant la condition suivante :

où Y est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et 1 – P. Il est possible de démontrer (voir Krishnamoorthy et Mathew⁴) qu'une borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P) est donnée par X_k . De même, une borne de tolérance supérieure unilatérale (1 – α, P) est exprimée par X _{n - k +1}. Dans les deux cas, la couverture réelle ou effective est exprimée par P(Y > k).

Intervalles bilatéraux

Soit k l'entier le plus petit remplissant la condition suivante :

où V est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et P. Ainsi,

où F _V ^-1(x) représente la fonction de répartition inverse de V. Il est possible de démontrer (voir Krishnamoorthy et Mathew⁴) qu'un intervalle de tolérance bilatéral (1 – α, P) peut être donné par ( X_r , X_s ). Minitab choisit s = n - r + 1 de sorte que r = ( n – k + 1) / 2. Les deux valeurs r et s sont arrondies à l'entier le plus proche. La couverture réelle ou effective est exprimée par P(V < k – 1).

Notation