Métodos y fórmulas para Tamaño de muestra para intervalos de tolerancia

Definición de intervalo de tolerancia (bilateral)

Sean X₁, X₂, ..., X_n los valores ordenados de una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de una distribución continua.

Sea F(χ,θ) la función de distribución para Ω en algún espacio de parámetro con una dimensión mayor que o igual a 1.

Sean L < U dos estadísticos basados en la muestra tal que para cualquier valor α y P dado, con 0 < α < 1 y 0 < P < 1, se cumpla lo siguiente para cada θ en Ω:

Entonces, el intervalo [ L, U] es un intervalo de tolerancia bilateral con contenido = P x 100% y nivel de confianza = 100(1 - α)%. Tal intervalo se puede denominar un intervalo de tolerancia (1 - α, P) bilateral. Por ejemplo, si α = 0.10 y P = 0.85, entonces el intervalo resultante se denomina un intervalo de tolerancia (90%, 0.85) bilateral.

Tamaño de la muestra y margen de error

Sea C = F( U) – F( L). Un intervalo de tolerancia (1 –α , P) bilateral es tal que:

donde C es el contenido (también conocido como la cobertura) del intervalo de tolerancia.

En otras palabras, para valores de P, α, ε y α* dados, el tamaño de la muestra se determina de manera que

y

Este enfoque se basa en el hecho de que para cualquier P* > P, P( C>P*) es una función decreciente del tamaño de la muestra y, por lo tanto, se puede utilizar para evaluar la precisión.

Elegir un ε y α* pequeños tiene el efecto de reducir el tamaño del intervalo de tolerancia y, por lo tanto, se requiere un tamaño de muestra más grande. Los valores típicos de ε y α* son 0.10, 0.05 o 0.01.

Intervalo unilateral

Faulkenberry y Daly¹ muestran que para valores dados de α, P, ε y α*, el tamaño de muestra requerido para un intervalo unilateral se obtiene hallando el valor mínimo para n que satisfaga la siguiente ecuación:

donde la notación t_x,y(d) represena el percentil y de una distribución t no central con x grados de libertad y un parámetro de no centralidad d. Los parámetros de no centralidad δ y δ* se calculan de la siguiente manera:

donde z_p es el percentil P de la distribución normal estándar.

Minitab utiliza un algoritmo iterativo para hallar el valor mínimo requerido para n.

Intervalo bilateral

Para que los cálculos del tamaño de muestra de un intervalo bilateral se basen en la función I( k, n, P), vaya a Métodos y fórmulas para Intervalos de tolerancia (Distribución normal y haga clic en "Intervalos de tolerancia exactos para distribuciones normales".

Minitab utiliza un algoritmo iterativo para hallar el valor mínimo requerido para n. Para obtener información adicional, véase Odeh, Chou, y Owen².

Notación

Término	Description
1 – α	el nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P	la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo)
ε	el margen de error del intervalo de tolerancia
α*	el margen de probabilidad de error para el intervalo de tolerancia
n	el número de observaciones en la muestra

Minitab calcula los intervalos para el margen de error y luego calcula el intervalo para el porcentaje máximo de la población en el intervalo utilizando la siguiente fórmula.

P* = P + ε

Los cálculos del margen de error son similares a los cálculos del tamaño de la muestra descritos en Fórmulas generales para el tamaño de la muestra para los intervalos de tolerancia.

Intervalos unilaterales

Para valores dados de n, α, P y α *, el margen de error, ε, para un intervalo unilateral se obtiene resolviendo primero δ* en la siguiente ecuación:

donde la notación t_x,y(d) representa el percentil y de una distribución t no central con x grados de libertad y un parámetro de no centralidad d. Minitab utiliza una rutina que busca raíces numéricas para calcular δ*. Después de determinarse el valor de δ*, el valor de ε se puede obtener a partir de la siguiente fórmula:

Intervalos bilaterales

Los cálculos del margen de error de un intervalo bilateral se basan en la función I( k, n, P), que se describe en Intervalos de tolerancia exactos para distribuciones normales.

Para valores dados de n, α, P y α*, el margen de error, ε, para un intervalo bilateral se obtiene utilizando el algoritmo descrito en Odeh, Chou y Owen¹. Primero, resuelva la siguiente ecuación para k:

Segundo, utilice el valor de k para resolver la siguiente ecuación para ε:

Notación

Término	Description
1 – α	el nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P	la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo)
P*	Porcentaje máximo de la población en el intervalo
ε	el margen de error del intervalo de tolerancia
α*	el margen de probabilidad de error para el intervalo de tolerancia
n	el número de observaciones en la muestra

Un límite de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral viene dado por X_k, donde k es el entero más grande que satisface la siguiente condición:

donde Y es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y 1 – P. De un modo equivalente, n – k es el entero más pequeño tal que P(W ≤ n – k) ≥ 1 – α, donde W = n – Y es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y P.

Esto es n – k = F_W^–1 (1 – α), donde F_W^–1(.) representa la función de distribución acumulada inversa de W = n – Y.

Del mismo modo, se puede mostrar que un límite de tolerancia superior (1 – α, P) unilateral viene dado por X_{( n – k + 1 )}, donde k satisface las condiciones descritas anteriormente para el límite inferior.

En ambos casos, la cobertura real o efectiva viene dada por P(Y > k).

Además, un intervalo de tolerancia (1 – α, P) bilateral puede expresarse como (X_r, X_s) donde k = s – r es el entero más pequeño que satisface la siguiente condición:

donde V es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y P. Esto es k – 1 = F_v^–1(1 – α), donde F_v^–1(.) representa la función de distribución acumulada inversa de W = n – Y.

Se ha convertido en una práctica común tomar s = n – r + 1, de modo que r = ( n – k + 1) / 2. Tanto r como s se redondean al entero más cercano. La cobertura real o efectiva viene dada por P( V ≤ k – 1).

Criterio

El criterio para los cálculos de tamaño de la muestra para los intervalos de tolerancia no paramétricos (tanto unilaterales como bilaterales) es similar a los descritos para los datos normales. Más específicamente, para un límite de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral, el criterio consiste en determinar el tamaño de la muestra, n, y el entero más grande k que satisfagan las siguientes condiciones:

donde Y es una variable aleatoria binomial con los parámetros n, 1 – P y donde Y* es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y 1– P*, y P* = P + ε y ε > 0.

Esta condición es equivalente a encontrar n y el entero más grande k que satisfagan las siguientes condiciones:

donde F_U(.) representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria U que se distribuye como una distribución beta con los parámetros α = k y b = n – k + 1.

Como se señala en Hahn y Meeker¹, el criterio produce tamaños de muestra necesarios que son idénticos para los intervalos de tolerancia tanto unilaterales como bilaterales. Por lo tanto, utilizamos el criterio descrito anteriormente para los intervalos de tolerancia tanto unilaterales como bilaterales.

Para los valores dados de ε, P y α*, Minitab utiliza un algoritmo iterativo para encontrar el tamaño mínimo de la muestra que satisfaga las dos condiciones descritas anteriormente. Para los valores dados de n, P y α*, Minitab también calcula el margen de error que satisface las condiciones anteriores utilizando un algoritmo iterativo y luego calcula el intervalo para el porcentaje máximo de la población en el intervalo usando la siguiente fórmula.

P* = P + ε

Para obtener más detalles, véase Hahn y Meeker¹.

Notación

Término	Description
1 - α	el nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P	la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de población en el intervalo)
P*	Porcentaje máximo de la población en el intervalo
ε	el margen de error del intervalo de tolerancia
α*	el margen de probabilidad de error para el intervalo de tolerancia
n	el número de observaciones en la muestra