Métodos y fórmulas para Gráfica T²

Datos en subgrupos

Cuando los datos están en subgrupos, T² se calcula de la siguiente manera:

donde:

es el vector medio de (media de x_jk valores), que se calcula de la siguiente manera:

S = matriz de covarianzas de la muestra

La matriz de covarianzas de la muestra, S, se calcula de la siguiente manera:

donde:

donde:

, la varianza muestral para la característica j^ésima en la k^ésima muestra, se calcula como sigue:

donde:

donde:

, la covarianza, =

El promedio de las matrices S es una estimación sin sesgo de la varianza cuando el proceso está bajo control. n debe ser mayor que p y no debe haber correlaciones fuertes entre las variables, de forma que la matriz de covarianzas de la muestra no sea singular.

Cuando los datos están en subgrupos, el gráfico muestra un valor faltante para cualquier subgrupo que sea una observación individual.

Observaciones individuales

Cuando los datos son observaciones individuales, T² se calcula de la siguiente manera:

donde:

donde:

Notación

Término	Description
n	tamaño de la muestra
	vector medio de la muestra
Xijk	La i-ésima observación sobre la característica j-ésima en la k-ésima muestra
m	número de muestras

Minitab grafica el estadístico T² en una gráfica de control. Si un punto graficado excede los límites de control, el proceso está fuera de control en ese punto. Véase la tabla y ecuaciones de la muestra como referencia en los cálculos de Minitab.

Los siguientes datos provienen de un proceso de desarrollo de una solución de limpieza. Las cantidades de citrato de sodio y glicerina afectan la potencia de la solución.

1. Calcule las medias de los subgrupos para cada variable, X₁ y X₂. En este caso, cada subgrupo tenía cuatro muestras.
2. Si usted tiene observaciones individuales, Minitab las utiliza en lugar de las medias de los subgrupos en todos los cálculos.
3. Calcule las varianzas de los subgrupos S_{1 2} y S_{2 2}.
4. Calcule las covarianzas de los subgrupos S_{1 2 k}.
5. Calcule las medias de las medias de los subgrupos, las medias de las varianzas de los subgrupos y la media de las covarianzas.
6. Designe la matriz S de covarianza de la muestra y el vector medio.
7. Calcule T², que viene dada por:

   

Minitab grafica T² en la gráfica T² y la compara con los límites de control para determinar si los puntos individuales están fuera de control.

La línea central de la gráfica T² es KX. El cálculo de K y X depende del máximo tamaño de las muestras y de si Minitab estima la matriz de covarianzas a partir de los datos.

Datos en subgrupos

Cuando los datos están en subgrupos, KX se calcula de la siguiente manera:

Dada la matriz de covarianzas

Matriz de covarianzas estimada

Observaciones individuales

Cuando los datos son observaciones individuales, KX se calcula de la siguiente manera:

Dada la matriz de covarianzas

Matriz de covarianzas estimada

donde:

Notación

Término	Description
P	número de variables
M	número de subgrupos
N	tamaño de la muestra
	la distribución F acumulada inversa con u grados de libertad del numerador y v grados de libertad del denominador
	la distribución beta acumulada inversa con el primer parámetro de forma α y el segundo parámetro de forma β

Datos en subgrupos

El límite de control superior si usted no especifica parámetros es:

El límite de control superior si usted especifica parámetros es:

Observaciones individuales

El límite de control superior si usted no especifica parámetros es:

donde:

Véase Woodall et al.¹ para obtener más información.

El límite de control superior si usted especifica parámetros es:

Notación

Estadístico de T² descompuesta:

donde:

donde:

x_i^{(p − 1)}es el vector medio descompuesto

S_xx es la submatriz principal (p – 1) × (p – 1) de S

T²_{p|1,..., p−1} es una aproximación que difiere por fases y si usted tiene subgrupos u observaciones individuales:

Fase 1 para datos en subgrupos:

Fase 2 para datos en subgrupos:

Fase 1 para observaciones individuales:

Fase 2 para observaciones individuales:

Minitab calcula los límites de control de la fase 1 cuando usted no especifica las estimaciones de los parámetros y los límites de control de la fase 2 cuando sí los especifica.

Véase Mason et al.² para obtener más información sobre el estadístico de T² descompuesta.

Notación

Fórmula de Box-Cox

Si usted utiliza una transformación de Box-Cox, Minitab transforma los valores de los datos originales (Y_i) de acuerdo con la siguiente fórmula:

donde λ es el parámetro de la transformación. Luego Minitab crea una gráfica de control con los valores de los datos transformados (W_i). Para enterarse de cómo Minitab elige el valor óptimo para λ, vaya a Métodos y fórmulas para Transformación de Box-Cox.

Valores comunes de λ

La siguiente tabla muestra algunos valores de λ utilizados comúnmente y sus transformaciones.

λ	Transformación
2
0.5
0
−0.5
−1