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Für umfassende, vollständige Datensätze liefern sowohl die LSE-Methode als auch die MLE-Methode übereinstimmende Ergebnisse. In Zuverlässigkeitsanwendungen weisen die Datensätze typischerweise eine kleine oder mittlere Größe auf. In umfassenden Simulationsstudien wurde nachgewiesen, dass die MLE-Methode bei Designs mit kleinen Stichproben, in denen nur wenige Ausfälle auftreten, gegenüber der LSE-Methode zu bevorzugen ist.1 Daher ist die Standardschätzmethode in Minitab die MLE-Methode.
Wenn aufgrund einer starken Zensierung der Daten nur eine geringe Anzahl von Ausfällen vorhanden ist, verwendet die MLE-Methode die Informationen aus dem gesamten Datensatz, einschließlich der zensierten Werte. Die LSE-Methode ignoriert die Informationen aus den zensierten Beobachtungen.1
Normalerweise wiegen die Vorteile der MLE-Methode schwerer als die Vorteile der LSE-Methode. Die LSE-Methode lässt sich einfacher manuell berechnen und ist leichter zu programmieren. Die LSE-Methode ist zudem traditionell mit der Verwendung von Wahrscheinlichkeitsnetzen zum Beurteilen der Anpassungsgüte verbunden. Die LSE-Methode kann jedoch in einem Wahrscheinlichkeitsnetz irreführende Ergebnisse liefern. Es gibt Beispiele dafür, dass die Punkte in einem Weibull-Wahrscheinlichkeitsnetz, für das die LSE-Methode verwendet wird, entlang einer Linie liegen, wenn das Weibull-Modell tatsächlich jedoch ungeeignet ist.1
1. Genschel, U. und Meeker, W.Q. (2010). A Comparison of Maximum Likelihood and Median-Rank Regression for Weibull Estimation. Quality Engineering, 22(4): 236–255.
In früheren Releases hat Minitab bei der Verwendung der LSE-Methode berechnete Ergebnisse für Standardfehler, Konfidenzintervalle und Tests für Modellparameter ausgegeben. Diesen berechneten Ergebnissen lag eine Ad-hoc-Methode zugrunde. Es gibt jedoch keine bewährte, allgemein akzeptierte statistische Methode zum Berechnen von Standardfehlern für Modellparameter mit der LSE-Methode. Wenn Sie also die Standardschätzmethode ändern und Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y)) auswählen, enthält die Ausgabe keine berechneten Ergebnisse für Standardfehler, Konfidenzintervalle und Tests für die Modellparameter. Wenn Sie Konfidenzintervalle und Tests für Modellparameter in den Ergebnissen benötigen, müssen Sie die MLE-Methode (d. h. die Standardmethode) verwenden.
Führen Sie folgende Schritte aus, um die Parameterschätzmethode bei einer verteilungsgebundenen Analyse, Verteilungsidentifikation oder Verteilungsübersicht von MLE in LSE zu ändern:
| Analyse | Schaltfläche |
|---|---|
| Verteilungsgebundene Analyse | Schätzen |
| Verteilungsidentifikation | Optionen |
| Verteilungsübersicht | Optionen |
Wenn Sie die Schätzmethode der kleinsten Quadrate verwenden, werden Schätzwerte durch Anpassen einer Regressionslinie an die Punkte in einem Wahrscheinlichkeitsnetz berechnet. Die Linie wird durch Regression der Zeit bis zum Ausfall oder von log(Zeit bis zum Ausfall) (x) auf den transformierten Prozentsatz (y) gebildet.
Da die Perzentile der Verteilung auf den geschätzten Verteilungsparametern basieren, führen Differenzen bei den geschätzten Parametern zu Differenzen bei den geschätzten Perzentilen.
Wenn Sie die Parameter mit der Maximum-Likelihood-Schätzmethode schätzen, können Sie Startwerte für den Algorithmus und die maximale Anzahl von Iterationen angeben.
| Verteilung | Parameter |
|---|---|
| Weibull | Form und Skala eingeben |
| Exponential | Mittelwert eingeben |
| Andere Verteilungen mit zwei Parametern | Lage und Skala eingeben |
| Exponential mit 2 Parametern | Skala und Schwellenwert eingeben |
| Weibull mit 3 Parametern | Form, Skala und Schwellenwert eingeben |
| Andere Verteilungen mit 3 Parametern | Lage, Skala und Schwellenwert eingeben |
Minitab berechnet Maximum-Likelihood-Schätzwerte in einem iterativen Prozess. Wenn die maximale Anzahl der Iterationen vor der Konvergenz erreicht wird, wird die Ausführung des Algorithmus beendet.
Sie können in Verteilungsgebundene Analyse (Rechtszensierung) und Verteilungsgebundene Analyse (beliebige Zensierung) beide Schätzmethoden verwenden. Wenn Minitab die Parameter jedoch nicht mit einer dieser Methoden automatisch schätzen soll, können Sie auch einige oder alle Parameter selbst angeben. Wenn Sie sich entscheiden, Parameter anzugeben, basieren die berechneten Ergebnisse (z. B. die Perzentile) auf den Werten der Parameter, die Sie für die Analyse eingegeben haben.
Sie können einige der Parameter für Ihre Verteilung angeben und die anderen von Minitab anhand der Daten schätzen lassen. In der Regel lassen Sie beim Durchführen einer Bayes-Analyse einige Parameter schätzen, wenn die Daten wenige oder überhaupt keine Ausfälle enthalten. Weitere Einzelheiten finden Sie unter Durchführen einer Zuverlässigkeitsanalyse mit wenigen oder überhaupt keinen Ausfällen.
| Verteilung | Parameter, die angegeben werden können |
|---|---|
| Weibull | Form |
| Weibull mit 3 Parametern | Form und/oder Schwellenwert |
| Exponential | Keine |
| Exponential mit 2 Parametern | Schwellenwert |
| Andere Verteilungen ohne Schwellenwert | Skala |
| Andere Verteilungen mit Schwellenwert | Skala und/oder Schwellenwert |
Der Skalenparameter für die Weibull-Verteilung wird immer geschätzt. Für Verteilungen mit einem Lageparameter wird der Lageparameter immer geschätzt.
Sie können alle Parameter angeben, anstatt sie anhand der Daten zu schätzen. Sie können historische Parameter angeben, um beispielsweise die auf den historischen Parametern basierenden Schätzwerte mit den auf den aktuellen Daten basierenden Schätzwerten zu vergleichen oder um festzustellen, wie die aktuellen Daten auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz auf der Grundlage der historischen Parameter passen.
| Verteilung | Parameter |
|---|---|
| Weibull | Form und Skala eingeben |
| Exponential | Mittelwert eingeben |
| Andere Verteilungen mit zwei Parametern | Lage und Skala eingeben |
| Exponential mit 2 Parametern | Skala und Schwellenwert eingeben |
| Weibull mit 3 Parametern | Form, Skala und Schwellenwert eingeben |
| Andere Verteilungen mit 3 Parametern | Lage, Skala und Schwellenwert eingeben |
Beim Durchführen einer verteilungsgebundenen Analyse können Sie festlegen, dass Minitab gemeinsame Form- oder Skalenparameter für die Schätzwerte annimmt.
Minitab nimmt dann beim Berechnen der Schätzwerte gleiche Form- oder Skalenparameter an. Angenommen, Sie verfügen über 2 (oder genereller k>2) unabhängige normalverteilte Stichproben mit unterschiedlichen Mittelwerten, jedoch mit gleicher Varianz. Zum Schätzen des Mittelwerts für jede Stichprobe verwendet Minitab einen zusammengefassten Schätzwert der Varianz. Dieser Ansatz wird außerdem für andere Verteilungen verallgemeinert. Das konkrete Ergebnis hängt jedoch von der Schätzmethode ab, die Sie für die Analyse gewählt haben.
Für die Maximum-Likelihood-Methode verwendet Minitab jedoch die Log-Likelihood-Funktion. In diesem Fall ist die Log-Likelihood-Funktion des Modells gleich der Summe der einzelnen Log-Likelihood-Funktionen, wobei in den einzelnen Log-Likelihood-Funktionen der gleiche Formparameter angenommen wird. Die resultierende Log-Likelihood-Gesamtfunktion wird maximiert, um die Skalenparameter für die einzelnen Gruppen und den gemeinsamen Formparameter zu erhalten. Weitere Informationen finden Sie in W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis, Kapitel 12. John Wiley & Sons.
Minitab berechnet zunächst die y-Koordinate und die x-Koordinate für jede Gruppe (Einzelheiten finden Sie in den Themen „Diagrammpunkte“ und „Anpassungslinie“ in Methoden und Formeln für das Wahrscheinlichkeitsnetz in Verteilungsgebundene Analyse (Rechtszensierung)). Zum Berechnen der LSE-Schätzwerte führt Minitab die folgenden Schritte aus:
Für Verteilungen mit Log-Lage und -Skala (z. B. Weibull) müssen die x-Koordinaten log-transformiert werden. Die Gruppen sollten die gleiche Steigung (die Umkehrung des gemeinsamen Formparameters) aufweisen. Der Skalenparameter der einzelnen Gruppen wird durch Potenzieren des Schnittpunkts mit der y-Achse für jede Gruppe erhalten.
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