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最小二乘估计方法和极大似然估计方法

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什么是最小二乘估计方法和极大似然估计方法？

两种常用于从随机样本估计总体参数的方法是最大似然估计方法（默认）和最小二乘估计方法。
最大似然估计方法 (MLE)
似然函数指明了观测的样本作为可能参数值函数的几率有多大。因此，通过最大化似然函数，可以确定最可能产生观测数据的参数。从统计学观点来看，一般建议对大样本使用 MLE，因为此方法是通用的，适用于大多数模型和不同类型的数据，而且会产生最精确的估计值。
最小二乘估计方法 (LSE)
最小二乘估计值是通过将回归线拟合到数据集中的点来计算的，这些数据集具有最小的平方差和（最小二乘误）。在可靠性分析中，回归线和数据将标绘在概率图上。

为什么 MLE 是 Minitab 中使用的默认方法？

对于大型的完整数据集，无论是 LSE 方法还是 MLE 方法都可提供一致的结果。在可靠性应用中，数据集通常为中小型数据集。经过广泛的模拟研究后发现，在只有几个故障的小样本设计中，MLE 方法优于 LSE 方法。

MLE 方法相比于 LSE 方法的优点如下：
  • 分布参数估计值更精确。
  • 估计方差更小。
  • 可以对模型参数的置信区间和检验进行可靠的计算。
  • 计算过程使用数据中的信息更多。

    当由于数据删失严重而只有几个故障时，MLE 方法使用整个数据集（包括删失值）中的信息。LSE 方法忽略已删失的观测值中的信息。LSE 方法忽略已删失的观测值中的信息。1

通常，MLE 方法的优点多于 LSE 方法的优点。LSE 方法更便于手工计算而且更便于编程。在以前，LSE 还与使用概率图评估拟合优度相关联。但是，LSE 方法可能会在概率图上提供令人误解的结果。例如，使用 LSE 方法的 Weibull 概率图上的点沿着线分布，但 Weibull 模型实际上并不合适。1

1. Genschel, U. 和 Meeker, W. (2010). “对极大似然和中位数秩回归在 Weibull 估计方面的比较”。Quality Engineering，22(4)：236–255 页。

为什么模型参数的置信区间和检验不适用于 LSE 方法？

在早期版本中，Minitab 在使用 LSE 方法时，为模型参数的标准误、置信区间和检验提供计算结果。这些计算结果基于特殊方法。但是，尚未建立可接受的统计方法来使用 LSE 方法为模型参数计算标准误。因此，如果您更改默认的估计法，并选择最小二乘（失效时间 (X)，等级 (Y)），则输出中将不包括模型参数的标准误、置信区间和检验的计算结果。如果您希望在结果中包括模型参数的置信区间和检验，则必须使用 MLE（默认）方法。

更改估计方法

要在使用参数分布分析、分布 ID 图或分布概要图时将参数估计法从 MLE 更改为 LSE，请执行以下操作：

  1. 选择统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（右删失）或分布分析（任意删失）。
  2. 选择下列分析之一并单击相应的按钮：
    分析 按钮
    参数分布分析 估计
    分布 ID 图 选项
    分布概要图 选项
  3. 选择最小二乘（失效时间 (X)，排秩 (Y)）。

    如果您使用最小二乘估计法，则会通过将回归线拟合到概率图中的点来计算估计值。通过回归变换百分比 (Y) 上的失效时间或对数失效时间 (X) 来形成此线。

由于分布的百分位数基于估计分布参数，因此，估计参数中的差异将导致估计百分位数中的差异。

针对极大似然估计输入起始值或更改最大迭代次数

当使用极大似然估计法估计参数时，可以指定该算法的起始值，并指定最大迭代次数。

  1. 在工作表中，将分布的参数估计值输入到工作表的单个列中。
    如果起始估计值不在真实解的临近范围内，极大似然解可能不收敛；因此，您应该为参数估计值输入合适的起始值。对于不同的分布，请以表格中表示的顺序将参数估计值输入到工作表中。
    分布 参数
    Weibull 输入形状和尺度
    指数 输入均值
    其他双参数分布 输入位置和尺度
    双参数指数 输入尺度和阈值
    3 参数 Weibull 输入形状、尺度和阈值
    其他 3 参数分布 输入位置、尺度和阈值
  2. 选择统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（右删失） > 参数分布分析或统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（任意删失） > 参数分布分析。
  3. 单击选项。
  4. 在使用起始估计值中，为算法输入起始值列。
  5. 在最大迭代次数中，输入达到收敛的最大迭代次数（默认值为 20）。

    Minitab 通过迭代过程获得最大似然估计。如果收敛前达到最大迭代次数，计算过程将停止。

指定参数分布分析，而不是让 Minitab 估计这些参数

您可以使用 参数分布分析（右删失） 和 参数分布分析（任意删失） 中的任一估计法。但是，您还可以指定部分或全部参数，而不是让 Minitab 使用这些方法之一估计参数。如果您选择指定参数，则计算结果（如百分位数）将基于您为分析输入的参数值。

指定一些参数并估计其他参数

您可以指定一些分布参数并让 Minitab 根据数据估计其他参数。通常，当数据中没有失效或者失效很少时，您可以通过估计一些参数来执行 Bayes 分析。有关更多详细信息，请参见如何在没有失效或失效很少时执行可靠性分析。

  1. 选择统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（右删失） > 参数分布分析或统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（任意删失） > 参数分布分析。
  2. 单击估计。
  3. 在Bayes 分析中，输入要为您的分布指定的参数。 可以指定的参数取决于您选择的分布：
    分布 可以指定的参数
    Weibull 形状参数
    3 参数 Weibull 形状、阈值或两者
    指数 无
    双参数指数 阈值
    没有阈值的其他分布 尺度参数
    具有阈值的其他分布 尺度、阈值或两者

    您始终可以为 Weibull 分布估计尺度参数。对于具有位置参数的分布，您始终可以估计位置参数。

指定所有参数

您可以指定所有参数而不是根据数据估计参数。您可以指定历史参数以将基于历史参数的估计值与基于当前数据的估计值进行比较，或查看当前数据与基于历史参数的概率图的拟合效果。

  1. 在工作表中，将分布的参数估计值输入到单个列中。 如果有多个变量要分析，则可以输入多列参数估计值。对于不同的分布，请以表格表示的顺序将参数估计值输入到单个列中。
    分布 参数
    Weibull 输入形状和尺度
    指数 输入均值
    其他双参数分布 输入位置和尺度
    双参数指数 输入尺度和阈值
    3 参数 Weibull 输入形状、尺度和阈值
    其他 3 参数分布 输入位置、尺度和阈值
  2. 选择统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（右删失） > 参数分布分析或统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（任意删失） > 参数分布分析。
  3. 单击选项。
  4. 选择。使用历史估计值
  5. 在使用历史估计值中，输入估计参数列。 如果有多个变量要分析，请按照输入变量的相同顺序输入一列估计值。

假设参数分布分析的公共形状或尺度参数

当您执行参数分布分析时，可以让 Minitab 假设估计值的公共形状或尺度参数。

  1. 选择统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（右删失） > 参数分布分析或统计 > 可靠性/生存 > 分布分析（任意删失） > 参数分布分析。
  2. 单击估计。
  3. 在估计法下，选中假定共同的形状（Weibull 斜率）或尺度（1/斜率 - 其它分布）。

    然后，Minitab 会在计算估计值时假设公共形状或尺度参数。例如，假设您有 2 个（或多个，通常 k>2）独立的正态分布样本，该样本的均值不同但方差相同。为了估计每个样本的均值，Minitab 会使用方差的合并估计值。此方法也适用于其他分布。但是，具体的结果取决于为分析选择的估计法。

使用公共形状或尺度参数的 MLE 方法

对于极大似然方法，Minitab 会使用对数似然函数。在这种情况下，模型的对数似然函数是单个对数似然函数的和，而且在单个对数似然函数中假设的形状参数相同。生成的整体对数似然函数最大化可得到与每个组关联的尺度参数以及公共形状参数。有关详细信息，请参见以下参考资料：W. Nelson (1982)。Applied Life Data Analysis（应用寿命数据分析），第 12 章。John Wiley & Sons。

使用公共形状或尺度参数的 LSE 方法

Minitab 首先会计算每个组的 Y 坐标和 X 坐标（有关详细信息，请参见参数分布分析（右删失）中概率图的方法和公式中的“图点”和“拟合线”主题）。然后，为了得到 LSE 估计值，Minitab 会执行以下步骤：

  1. 合并 X 坐标数据。
  2. 合并 Y 坐标数据。
  3. 使用指示变量（或按变量）标识组
  4. 针对通过所有 Y 坐标（连续预测变量）和指示变量（类别预测变量）定义的预测变量回归 X 坐标（响应）。
    注意

    对于对数-位置尺度分布（例如，Weibull），X 坐标必须是对数变换值。各组的斜率应相同，该斜率是通过公共形状参数的逆运算获得的。每组的尺度参数是通过对每组的截距求幂获得的。

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