等方差检验 的方法和公式

k > 2 样本的多重比较区间

设 为 k > 2 个独立样本，每个样本都是独立的，分布方式也相同，并且均值为 且方差 。并且，假设样本源自具有共同峰度的总体。

设 作为样本对 ( i, j) 的合并峰度估计值，表达式如下：

设 是一系列独立和相同分布的标准正态随机分布的 k 变量的上限点。即， 满足以下条件：

其中 Z₁, ..., Z_k 是独立和相同分布的标准正态随机变量。Barnard (1978) 基于用于计算正常范围的分布函数的 16 点 Gaussian 求积提供了一种简单的数值算法。

当且仅当至少一对下列区间不重叠时，多重比较过程会否定等方差（也称为同质方差）的原假设：

其中

其中 r_i = (n_i - 3) / n_i.

我们将上述区间称为多重比较区间或 MC 区间。每个样本的 MC 区间不会解释为父总体的标准差的置信区间。Hochberg 等人 (1982) 将将比较均值的类似区间称为“不确定区间”。这里指定的 MC 区间仅对比较多样本设计的标准差或方差有效。当总体多重比较检验显著时，与非重叠区间相对应的标准差在统一意义上不同。（有关这些区间的详细意义，请参阅多重比较方法上的白皮书）。

k = 2 个样本的多重比较区间

在只有两个样本的情况下，多重比较区间的公式如下：

其中，z_{α / 2} 是标准正态分布的 α / 2 百分位点上限，c_i = n_i / n_i - z_{α / 2}，且 V_i 由以下公式得出：

检验的 p 值

如果设计中有 2 个样本，则 Minitab 会使用双方差检验和假设比率 Ρ_o 为 1 的 Bonett 方法计算多重比较检验的 p 值。

如果设计中有 k > 2 个样本，则设 P_{i j} 为任意对 (i, j ) 样本的检验 p 值。多重比较过程的 p 值作为等方差的整体检验，公式如下：

有关更多信息，包括计算 P_{i j} 的模拟和详细算法，请转到 Bonett 方法（这是一本白皮书，其中包含有关 Bonett 方法的模拟和其他信息）。

表示法

项	说明
ni	样本 i 中的观测值个数
Y i l	样本 i 中的第 l 个观测值
mi	具有以下修剪比率的样本 i 的调整比率：
k	样本数
Si	样本 i 的标准差
α	检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
Ci
Zα / 2	标准正态分布的 α / 2 百分位点上限
ri

Minitab 显示 Levene 检验的检验统计量和 p 值。原假设是方差相等，备择假设为方差不相等。当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。

Levene 检验的计算方法是 Levene 程序 (Levene, 1960) 的修正，该程序由 Brown 和 Forsythe (1974) 联合开发。此方法考虑的是观测值与样本中位数之间的距离，而不是与样本均值之间的距离。采用样本中位数而不是样本均值，从而使该检验对于较小样本更有效，并且使程序实现渐近自由分布。如果 p 值小于 α 水平，则否定方差相等的原假设。

公式

• H. Levene (1960)，Contributions to Probability and Statistics（对概率和统计量的贡献），Stanford University Press, CA.
• M. B. Brown 和 A. B. Forsythe (1974)，“Robust tests for the equality of variance”（针对方差相等性的强大检验），Journal of the American Statistical Association（美国统计协会杂志），第 69 期，第 364 到 367 页。

表示法

项	说明
Vij
i	1, ..., k
j	1, ..., ni
	中位数

Minitab 显示 Bartlett 检验的检验统计量和 p 值。当只有两个水平时，Minitab 将执行 F 检验而非 Bartlett 检验。对于这些检验，原假设是方差相等，备择假设为方差不相等。当数据呈正态分布时，使用 Bartlett 检验；Bartlett 检验不适合偏离正态分布的情况。

Bartlett 检验统计量根据自由度，计算每个样本方差的加权算术平均值和加权几何平均值。平均值的差值越大，样本方差不相等的可能性越大。B 服从 χ² 分布，自由度为 k – 1。如果 p 值小于 α 水平，则否定方差相等的原假设。

公式

表示法

项	说明
si2
k	样本数
vi	ni - 1
ni	处于第 i 个因子水平的观测值数

当只有两个水平时，Minitab 将执行 F 检验而非 Bartlett 检验。原假设是方差相等，备择假设为方差不相等。当数据来自正态分布时，请使用 F 统计量。

如果 p 值小于 α 水平，则否定方差相等的原假设。

公式

表示法

表示法

项	说明
yij	处于第 i 个因子水平的观测值
	处于第 i 个因子水平的观测均值
ni	处于第 i 个因子水平的观测值数

Minitab 使用 Bonferroni 方法来计算标准差的置信区间。置信区间是可能包含部分总体参数的值范围，在此情况下，其包含标准差。

标准置信区间采用置信水平 1 – α / 2 来计算。Bonferroni 方法针对各个置信区间采用置信水平 1 – α / 2p，其中，p 是因子和水平组合数。此方法可确保置信区间集具有至少为 1 – α 的置信水平。Bonferroni 方法提供更多的保守（较宽）置信区间，这会减少类型 1 误差的概率。