T² 控制图 的方法和公式

子组中的数据

当数据位于子组中时， T² 的计算方法如下：

其中：

是 的均值向量（x_jk 值的均值），其计算方式如下：

S = 样本协方差矩阵

样本协方差矩阵 S 的计算方式如下：

其中：

其中：

，第 k个样本中^第 j^个 特征的样本方差计算如下：

其中：

其中：

,是协方差，=

S 矩阵的平均值是当过程受控制时方差的无偏估计值。n 必须大于 p ，并且变量之间不得有强关联，以便样本协方差矩阵不是奇异阵。

当数据位于子组中时，图表将显示作为单个观测值的任何子组的缺失值。

单个观测值

当数据是单个观测值时， T² 的计算方法如下：

其中：

其中：

表示法

项	说明
n	样本数量
	样本均值向量
xijk	第 k个 样本中 第 j个 特征的第 i个 观测值
m	样本数

Minitab 在控制图上标绘 T² 统计量。如果标绘点超出控制限，则过程在该点不受控制。有关 Minitab 计算的参考，请参见相关表格和样本方程。

下面的数据来自一个清洁液开发过程。柠檬酸钠和甘油的含量将影响清洁液的效力。

1. 为每个变量（X₁ 和 X₂）计算子组均值。在这种情况下，每个子组都有四个样本。
2. 如果有单个观测值，Minitab 会在所有计算中使用这些值来取代子组均值。
3. 计算子组方差 S_{1 2} 和 S_{2 2}.
4. 计算子组协方差 S_{1 2 k}.
5. 计算子组均值的均值、子组方差的均值和协方差的均值。
6. 指定样本协方差矩阵 S 和均值向量。
7. 计算 T²，其计算方式如下：

   

Minitab 在 T² 控制图上标绘 T²，并将它与控制限相比较以确定单个点是否不受控制。

T² 控制图的中心线是 KX。K 和 X 的计算取决于最大样本数量以及 Minitab 是否根据数据估计协方差矩阵。

子组中的数据

当数据位于子组中时，KX 的计算方式如下：

给定的协方差矩阵

估计的协方差矩阵

单个观测值

当数据是单值观测值时，KX 按如下方式计算：

给定的协方差矩阵

估计的协方差矩阵

其中：

表示法

项	说明
P	变量数
M	子组数
N	样本数量
	分子自由度为 u 分母自由度为 v 的逆累积 F 分布
	第一个分布形状参数和第二个分布形状参数分别为 α 和 β 的逆累积 beta 分布

子组中的数据

未指定参数时的控制上限为：

指定了参数时的控制上限为：

单个观测值

未指定参数时的控制上限为：

其中：

有关更多信息，请参见 Woodall 等人发表的¹。

指定了参数时的控制上限为：

表示法

分解的 T 方统计量：

其中：

其中：

x_i^{(p − 1)} 是分解的均值向量

S_xx 是 S 的 (p – 1) × (p – 1) 主子矩阵

T²_{p|1,..., p−1} 是一个近似值，它因所处的阶段以及您拥有的是子组还是单个观测值而异。

子组中数据的阶段 1：

子组中数据的阶段 2：

单个观测值的阶段 1：

单个观测值的阶段 2：

当您未指定参数估计值时，Minitab 计算阶段 1 的控制限；当您指定了参数估计值时，Minitab 计算阶段 2 的控制限。

有关分解的 T 方统计量的更多信息，请参见 Mason 等人发表的 ²。

表示法

Box-Cox 公式

如果您使用 Box-Cox 变换，Minitab 根据以下公式变换原始数据值 (Y_i)：

其中 λ 是变换参数。Minitab 随后创建变换数据值 (W_i) 的控制图。要了解 Minitab 如何为 λ 选择最优值，请转到Box-Cox 变换 的方法和公式。

常见的 λ 值

下表显示一些常用的 λ 值及其变换。

λ	变换
2
0.5
0
−0.5
−1