双方差 的方法和公式

公式

标准差等于方差的平方根。

表示法

项	说明
	样本 i 的均值
S2i	样本 i 的方差
Xij	第 i 个样本的第 j 个测量值
ni	样本 i 的数量

检验统计量的公式

当 n₁ = n₂ 时，检验统计量为 Z²。如果原假设 ρ = ρ₀ 为真，则 Z² 将服从自由度为 1 的卡方分布。Z² 的计算公式如下所示：

其中 se(ρ₀) 是合并峰度的标准误，其计算公式如下：

其中 r_i = ( n_i - 3) / n_i， 是合并峰度，其计算公式如下：

se²(ρ₀) 还可以用各个样本的峰度值来表示。，如下所示：

其中：

p 值的公式

假设 z² 是从数据获得的 Z² 值。在原假设（H₀：ρ = ρ₀）下，Z 服从标准正态分布。因此，备择假设 (H₁) 的 p 值按如下公式计算。

表示法

项	说明
Si	样本 i 的标准差
ρ	总体标准差的比值
ρ0	总体标准差的假设比值
α	检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
ni	样本 i 中的观测值个数
	样本 i 的峰度值
Xij	样本 i 中的第 j 个观测值
mi	具有以下截尾比率的样本 i 的截尾均值：

公式

当 n₁ ≠ n₂ 时，没有检验统计量。相反，p 值是通过将置信区间过程反向来计算的。检验的 p 值的计算公式如下：

P = 2 min (α_L, α_U)

其中 α_L 是满足如下条件的最小 α 值：

α_U 是满足以下条件的最小 α 值：

其中，c_α 是下面描述的均衡器常量，se(ρ₀) 是合并峰度的标准误，其计算公式如下：

其中 r_i = (n_i - 3) / n_i， 是合并峰度，其计算公式如下：

se(ρ₀) 还可以用各个样本的峰度值来表示。有关更多信息，请转至“使用平衡设计的 Bonett 方法检验”。

均衡器常量

常量 c_α 是作为对小样本的调整而包括的，可用于缓解非平衡设计中不等尾误差概率所带来的效应。c_α 的值的计算公式如下所示：

当设计达到平衡时，常量会消失，当样本数量变大时，常量的效应会变得微不足道。

查找 α_L 和 α_U

查找 α_L 和 α_U 与查找函数 L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂) 和 L(z , n₂ , n₁ , S₂ , S₁) 的根等效，其中 L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂) 的计算公式如下：

设：

要计算 α_U，请使用函数 L(z, n₂, n₁, S₂, S₁) 而不是函数 L(z, n₁, n₂, S₁, S₂) 应用前面的步骤。

表示法

项	说明
Si	样本 i 的标准差
ρ	总体标准差的比值
ρ0	总体标准差的假设比值
α	检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
zα	标准正态分布的 α 百分位点上限
ni	样本 i 中的观测值个数
Xij	样本 i 中的第 j 个观测值
mi	具有以下截尾比率的样本 i 的截尾均值：

公式

置信区间是通过将检验过程反向来获取的。具体来说，Minitab 使用下面的方程求解 ρ 值：

其中，c_α/2 是均衡器常量（在下面描述），se(ρ) 是合并峰度的标准误（在下面描述）。通常，该方程有两个解，一个解 L < S₁ / S₂，另一个解 U > S₁ / S₂。L 是置信下限，U 是置信上限。有关更多信息，请转至 Bonett 方法（这是一本白皮书，其中包含有关 Bonett 方法的模拟和其他信息）。

方差比值的置信限值可通过对标准差比值的置信限值求平方来获得。

均衡器常量

常量 c_α 是作为对小样本的调整而包括的，可用于缓解非平衡设计中不等尾误差概率所带来的效应。c_α 的值的计算公式如下所示：

当设计达到平衡时，常量会消失，当样本数量变大时，常量的效应会变得微不足道。

合并峰度的标准误

se(ρ) 是合并峰度的标准误，其计算公式如下：

其中 r_i = (n_i - 3) / n_i， 是合并峰度，其计算公式如下：

se(ρ) 还可以用各个样本的峰度值来表示。有关更多信息，请参见“使用平衡设计的 Bonett 方法检验”部分。

表示法

项	说明
α	检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
Si	样本 i 的标准差
ρ	总体标准差的比值
zα/2	标准正态分布的 α/2 百分位点上限
ni	样本 i 中的观测值个数
Xij	样本 i 中的第 j 个观测值
mi	具有以下修剪比率的样本 i 的调整比率：

公式

Levene 检验适用于连续数据，但不适用于汇总数据。

为了使用 Levene 检验来检验原假设 σ₁ / σ₂ = ρ，Minitab 针对值 Z_1j 和 ρZ_2j 执行单因子方差分析（其中，j = 1, …, n₁ 或 n₂）。

Levene 的检验统计量等于所生成的方差分析表中的 F 统计量。Levene 的检验 p 值等于此方差分析表中的 p 值。

• H. Levene (1960)。Contributions to Probability and Statistics（针对概率和统计量的贡献）。斯坦福大学出版社，CA。
• M.B. Brown 和 A.B. Forsythe (1974)。“Robust Tests for the Equality of Variance”（针对方差相等性的强大检验），Journal of the American Statistical Association（美国统计协会杂志），第 69 期，第 364 到 367 页。

自由度

在原假设下，检验统计量服从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布。

DF1 = 1

DF2 = n₁ + n₂ – 2

表示法

公式

对于连续数据，Minitab 使用以下公式为总体标准差之间的比值 (ρ) 计算置信限值。要获得总体方差之间比值的限值，请对下面的值求平方。

表示法

项	说明
ηi	样本 i 的中位数
Zij	其中 j = 1, 2, ... , ni， i = 1, 2，Xij 是单个观测值
Mi	Zij 的均值
Si2	Zij 的样本方差
vi
ρ	σ1 / σ2
n1	第一个样本数量
n2	第二个样本数量

F 检验适用于正态数据。要使用 F 检验来检验原假设 (σ₁ / σ₂ = ρ)，Minitab 使用以下公式。

检验统计量的公式

自由度的公式

在原假设下，F 统计量服从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布。

DF1 = n₁ – 1

DF2 = n₂ – 1

p 值的公式

表示法

当数据服从正态分布时，Minitab 使用以下公式为总体标准差之间的比值 (ρ) 计算置信界限。要获得总体方差之间比值的界限，请对下面的值求平方。

公式

当您指定“不等于”备择假设时，ρ 的 100(1 – α)% 置信区间的计算公式如下：

当您指定“小于”备择假设时，ρ 的 100(1 – α)% 置信上限的计算公式如下：

在指定“大于”备择假设时，ρ 的 100(1 – α)% 置信下限的计算公式如下：

表示法