分析响应曲面设计中拟合值与残差的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

拟合

表示法

说明
拟合值
xkk 个项。每个项都可以是单个预测变量、多项式项或交互作用项。
bkk 个回归系数的估计值

拟合值的标准误(拟合值 SE)

具有一个预测变量的回归模型中拟合值的标准误为:

具有多个预测变量的回归模型中拟合值的标准误为:

对于加权回归,在公式中包括权重矩阵:

当数据具有测试数据集或 K 折交叉验证时,公式相同。的值 s2 是从培训数据。设计矩阵和重量矩阵也来自训练数据。

表示法

说明
s2mean square error
nnumber of observations
x0new value of the predictor
mean of the predictor
xii(序号) predictor value
x0 vector of values that produce the fitted values, one for each column in the design matrix, beginning with a 1 for the constant term
x0transpose of the new vector of predictor values
Xdesign matrix
Wweight matrix

残差

残差是观测值与相应拟合值之间的差分。该模型不解释这部分观测值。观测值的残差为:

表示法

说明
yi观测的第 i 个响应值
i 个响应拟合值

标准化残差 (Std Resid)

标准化残差也称为“内部 t 化残差”。

公式

表示法

说明
ei i 个残差
hi X(X'X)–1X' 的第 i 个对角线元素
s2 均方误
X设计矩阵
X'转置设计矩阵

删后(t 化)残差

也称为外部 t 化残差。公式为:

此公式的其他表现形式为:

估计第 i 个观测值的模型会从数据集中忽略第 i 个观测值。因此,第 i 个观测值无法对估计值产生影响。每个删后残差均具有学生 t 分布,其中具有 自由度。

表示法

说明
ei第 i 个残差
s(i)2未使用第 i 个观测值计算得出的均方误差
hi X(X'X)–1X' 的第 i 个对角线元素
n观测值个数
p项数,包括常量
SSE误差平方和

置信区间

一组给定预测变量值的估计响应均值将落入的范围。该区间由下限和上限共同定义,Minitab 根据拟合值的置信水平和标准误计算上限和下限。

其中

表示法

说明
α所选的 Alpha 值
n观测值个数
p参数的个数
s2均方误
s2{b}系数的方差-协方差矩阵

预测区间

一个新观测值的预测响应将落入的范围。该区间由下限和上限共同定义,Minitab 根据预测值的置信水平和标准误计算下限和上限。预测区间总是要比置信区间宽,这是因为在对单个响应与响应均值的预测中包括了更多的不确定性。

计算公式为:0+ t(1 -α /2; n - p) s(预测值)

表示法

说明
α所选的 Alpha 值
n观测值个数
p预测变量数
s (预测值)
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