分析响应曲面设计的二元响应中方差分析的方法和公式

方差分析

偏差可以度量当前模型和全模型之间的不一致。全模型是具有 n 个参数的模型,每个观测值对应一个参数。全模型可以最大化对数似然函数。全模型为少于 n 个参数的模型提供比较点。全模型比较使用尺度化的偏差。
下面的方程给出对二项模型尺度化偏差的贡献:

根据以下一般结果(假设 ϕ 已知)构造偏差表。如果 DI 是与初始模型相关的偏差,DS 是与初始模型中项的子组相关的偏差,则在某些正则性条件下,存在以下关系:

偏差之间的差分按具有 d 个自由度的卡方分布渐近分布。可以为调整的(III 型)分析和序贯(I 型)分析计算这些统计量。调整的偏差和偏差表中的卡方统计量相等。调整的均值偏差为调整的偏差除以自由度。

对于序贯分析,输出取决于预测变量输入模型的顺序。序贯偏差是预测变量解释的唯一一个偏差(假设模型中存在任意预测变量)。如果模型有 X1、X2 和 X3 三个预测变量,则 X3 的序贯偏差表示 X3 解释的剩余偏差量(假设模型中已存在 X1 和 X2)。要获得其他序贯偏差,请重复执行回归过程(按其他顺序输入预测变量)。

如果 ϕ 已知,对于遵循正态分布的响应变量,在某些正则性条件下,关系将发生变化,如下所示:

其中,偏差之间的差分按具有 d 个分子自由度和 np 个分母自由度的 F 分布渐近分布。要估计离差参数,请使用初始模型。

表示法

说明
yii 行的事件数
i 行的估计均值响应
mii 行的试验数
Lf全模型的对数似然
Lc具有全模型中项的子组的模型的对数似然
d自由度是要比较的模型中的多个参数之间的差分
ϕ离差参数,已知为 1,用于二项模型
n数据中的行数
p初始模型的回归自由度

自由度 (DF)

不同的平方和具有不同的自由度。

数字因子的自由度 = 1

类别因子的自由度 = b − 1

二次项的自由度 = 1

区组的自由度 = c − 1

误差的自由度 = n − p

自由度合计 = n − 1

对于因子间的交互作用,乘以因子中项的自由度。例如,如果因子是 A 和 B,则交互作用 AB 具有以下自由度:
要查找某一类项的自由度,请将这些项的自由度求和。例如,如果因子是 A 和 B,则模型中的主效应具有以下自由度:
注意

Minitab 筛选设计中的类别因子具有 2 个水平。因此,类别因子的自由度为 2 – 1 = 1。广义来说,因子之间的交互作用也具有 1 个自由度。

表示法

说明
b因子中的水平数
c区组数
n设计中的总行数
nii 个因子水平组合的观测值个数
m因子水平组合数
p系数的数量

对数似然

根据平均值参数化对数似然函数。函数的一般形式如下:

个体贡献的一般形式如下:

下面的方程给出对二项模型的各个贡献的特殊形式:

表示法

说明
yii 行的事件数
mii 行的试验数
i 行的估计均值响应

P 值

用于假设检验,可帮助您确定是要否定原假设还是无法否定原假设。如果原假设成立,P 值就是获得至少与实际计算值一样极端的检验统计量的概率。P 值常用的截止值为 0.05。例如,如果检验统计量的计算的 P 值小于 0.05,您可以否定原假设。

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