提供中心极限定理的“概览”,以模拟多次投掷骰子来说明此定理。相关概念在会话窗口的备注中说明,并且相关图形显示模拟的结果。该定理指出,如果根据总体不断重复绘制随机样本数量 n 以及有限均值 mu(y) 和标准差 sigma(y),然后在 n 较大时,样本均值的分布将近似呈正态分布,并且均值等于 mu(y),标准差等于 (sigma(y))/sqrt(n)。

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重要信息

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运行宏

注意

宏在工作表中生成数据。在运行宏之前,请确认空白工作表是否处于活动状态。

要运行宏,请在会话窗口中的任意位置单击,然后选择编辑器 > 显示命令行。在命令提示符 (MTB>) 处,输入以下命令:

%CLT

Enter 键。

中心极限定理指出,如果根据总体不断重复绘制随机样本数量 n 以及有限均值 mu(y) 和标准差 sigma(y),然后在 n 较大时,样本均值的分布将近似呈正态分布,并且均值等于 mu(y),标准差等于 (sigma(y))/sqrt(n)。

让我们使用以下实验来了解中心极限定理的效应。假设您掷骰子 1000 次。您希望得到相等数目的 1、2 等。让我们查看 1000 次骰子的分布。这种分布如图 1 所示。

Enter 键继续操作。

现在假设您将投掷 2 次,并采用两次投掷的平均值。您还将重复此试验 1000 次。让我们来看看两次投掷的平均值的分布。这种分布如图 2 所示。

Enter 键继续操作。

您是否注意到在只进行了两次投掷的情况下,平均值的分布已经呈现出了土堆形?假设您现在投掷骰子三次,然后取三次投掷的平均值。再次重复此试验 1000 次。让我们来看看此举对投掷的平均值分布有何影响。这种分布如图 3 所示。

Enter 键继续操作。

同样,分布的形状与正态分布的形状相当接近。您是否注意到分布上发生了其他变化?

让我们投掷骰子五次,并取其平均值。再次重复此试验 1000 次。这种分布如图 4 所示。

Enter 键继续操作。

您是否已开始注意到所发生的情形中存在任何模式?

让我们继续增加平均投掷次数。此时您将投掷 10 次,并采用 10 次投掷的平均值。这种分布如图 5 所示。

Enter 键继续操作。

现在,随着您增加投掷次数,将看到两个现象。首先,您会看到,平均分布的形状开始与正态分布的形状相似。其次,您会看到,随着投掷次数的增加,分布变得越来越窄。让我们继续增加投掷次数。此时,您将投掷骰子 20 次。这种分布如图 6 所示。

Enter 键继续操作。

到现在,您应该确信增大样本数量对样本平均值分布是有影响的。您将再次增大样本数量,以强化这种认知。此时,您将投掷骰子 30 次。这种分布如图 7 所示。

Enter 键继续操作。

让我们看看所呈现的情况。

您将在一个图中绘制大小为 2、5、10、20、30 的样本的直方图,以查看变化的分布。

Enter 键继续操作。

中心极限定理告诉我们在理论上应当看到的内容。让我们将此与您实际看到的内容进行比较:

Theoretical Results Observed Results ------------------- ---------------- Sample Standard Standard Size Mean Deviation Mean Deviation ------ ---- --------- ----- --------- 1 3.5 1.707825 3.453 1.7041 2 3.5 1.207615 3.527 1.2320 3 3.5 .986013 3.546 .9503 5 3.5 .763763 3.481 .7532 10 3.5 .540062 3.506 .5289 20 3.5 .381879 3.510 .3891 30 3.5 .311805 3.507 .3148 
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