单样本 Wilcoxon 的方法和公式

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配对平均数

配对平均数(也称为 Walsh 平均数)是数据集内每个可能的值对的均值,包括每个值与其本身组成的值对。

公式

= i ≤ j 的所有配对平均数。

= 配对平均数的总数

表示法

说明
Yi数据集内的第 i 个值
Yj数据集内的第 j 个值
n样本数量

中位数估计值

假设 W( 1 )< W( 2 )< ... < W( M ) 表示配对平均数(又称为 Walsh 平均数)的排序值,其中 M = n(n+1)/2。如果 M 是奇数,则中位数估计值是中间的值。如果 M 是偶数,则中位数估计值是两个中间值的平均数。Minitab 使用基于 Johnson 和 Mizoguchi (1978)1 的算法获得总体中位数的点估计值。
  1. D.B. Johnson 和 T. Mizoguchi (1978)。“Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm”(在 X + Y 和 X1 + X2 + ... + Xm 中选择第 K 个元素),《SIAM Journal of Computing》(SIAM 计算杂志)第 7 期,第 147-153 页。

Wilcoxon 统计量

Wilcoxon 统计量是超过假设中位数的配对平均数(又称为 Walsh 平均数)的数量与 1/2 的等于假设中位数的配对平均数的数量之和。Wilcoxon 统计量用 W 表示。Minitab 使用基于 Johnson 和 Miizoguchi (1978)1 的算法获取检验统计量。

  1. D.B. Johnson 和 T. Mizoguchi (1978)。“Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm”(在 X + Y 和 X1 + X2 + ... + Xm 中选择第 K 个元素),《SIAM Journal of Computing》(SIAM 计算杂志)第 7 期,第 147-153 页。

P 值

Wilcoxon 检验统计量 W 是与超过假设中位数的观测值个数相关联的秩的和。Minitab 按照 Johnson 和 Mizoguchi1 中的说明,使用配对 (Walsh) 平均数来计算检验统计量。

  1. 针对每个等于假设中位数的观测值,观测值个数 N 会按一递减。所生成的样本数量为 n
  2. 排除等于假设中位数的观测值。对于 i ≤ j 个观测值,计算 n(n + 1) / 2 个配对 Walsh 平均数 (Yi + Yj) / 2。

对于大样本,W 的分布近似正态。具体来说:

的分布与均值为 0 且标准差为 1 的正态分布 N(0,1) 近似。

三个备择假设的正态近似 p 值使用连续校正值 0.5。
备择假设 P 值
H1:中位数 > 假设中位数
H1:中位数 < 假设中位数
H1:中位数 ≠ 假设中位数

表示法

说明
n在省略了等于假设中位数值的任何观测值之后,观测到的数据点个数
WWilcoxon 检验统计量
w超过假设中位数的 Walsh 平均数的数量与 1/2 的等于假设中位数的 Walsh 平均数的数量之和。
k
  1. D.B. Johnson 和 T. Mizoguchi (1978)。“Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm”(在 X + Y 和 X1 + X2 + ... + Xm 中选择第 K 个元素),《SIAM Journal of Computing》(SIAM 计算杂志)第 7 期,第 147-153 页。

置信区间

置信区间是一组值 (d),对于这些值,不否定“H0:中位数 = d”检验,支持“H1:中位数 ≠   d”检验,使用的置信水平为(α = 1 - (置信百分比) / 100)。单样本 Wilcoxon 检验并不总是能够实现指定的置信水平,这是因为 Wilcoxon 统计量是离散的。因此,Minitab 结合使用正态近似和连续校正来计算可实现且最接近的置信水平。

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