双方差 的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

样本统计量

Minitab 计算两个样本的均值、标准差和方差。

公式

标准差等于方差的平方根。

表示法

说明
样本 i 的均值
S2i 样本 i 的方差
Xij 第 i 个样本的第 j 个测量值
ni 样本 i 的数量

使用平衡设计的 Bonett 方法检验

检验统计量的公式

n1 = n2 时,检验统计量为 Z2。如果原假设 ρ = ρ0 为真,则 Z2 将服从自由度为 1 的卡方分布。Z2 的计算公式如下所示:

其中 se(ρ0) 是合并峰度的标准误,其计算公式如下:

其中 ri = ( ni - 3) / ni 是合并峰度,其计算公式如下:

se20) 还可以用各个样本的峰度值来表示。,如下所示:

其中:

p 值的公式

假设 z2 是从数据获得的 Z2 值。在原假设(H0:ρ = ρ0)下,Z 服从标准正态分布。因此,备择假设 (H1) 的 p 值按如下公式计算。

假设 P 值
H1:ρ0 ≠ ρ0 P = 2P(Z > |z|)
H1:ρ0 > ρ0 P = P(Z > z)
H1:ρ0 < ρ0 P = P(Z < z)

表示法

说明
Si样本 i 的标准差
ρ总体标准差的比值
ρ0总体标准差的假设比值
α检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
ni样本 i 中的观测值个数
样本 i 的峰度值
Xij样本 i 中的第 j 个观测值
mi具有以下截尾比率的样本 i 的截尾均值:

使用非平衡设计的 Bonett 方法检验

公式

n1n2 时,没有检验统计量。相反,p 值是通过将置信区间过程反向来计算的。检验的 p 值的计算公式如下:

P = 2 min (αL, αU)

其中 αL 是满足如下条件的最小 α 值:
αU 是满足以下条件的最小 α 值:

其中,cα 是下面描述的均衡器常量,se(ρ0) 是合并峰度的标准误,其计算公式如下:

其中 ri = (ni - 3) / ni 是合并峰度,其计算公式如下:

se(ρ0) 还可以用各个样本的峰度值来表示。有关更多信息,请转至“使用平衡设计的 Bonett 方法检验”。

均衡器常量

常量 cα 是作为对小样本的调整而包括的,可用于缓解非平衡设计中不等尾误差概率所带来的效应。cα 的值的计算公式如下所示:

当设计达到平衡时,常量会消失,当样本数量变大时,常量的效应会变得微不足道。

查找 αLαU

查找 αLαU 与查找函数 L(z , n1 , n2 , S1 , S2) 和 L(z , n2 , n1 , S2 , S1) 的根等效,其中 L(z , n1 , n2 , S1 , S2) 的计算公式如下:

设:
对于 n1 < n2,请执行以下操作:
  • 计算 zm 并计算 L(z, n1, n2, S1, S2)。
    • 如果 L(zm) 0,则在以下区间中查找 L(z, n1, n2, S1, S2) 的根 zL 并计算 αL = P( Z > zL)。
    • 如果 L(zm) > 0,则函数 L(z , n1, n2, S1, S2) 无根,αL = 0。
对于 n1 > n2,请执行以下操作:
  • 计算 L(0, n1, n2, S1, S2) = ln (S12 / S22)。
    • 如果 L(0, n1, n2, S1, S2) 0,则在区间 [0, n2) 中查找 L(z, n1, n2, S1, S2) 的根 z0
    • 如果 L(0, n1, n2, S1, S2) < 0,则在以下区间中查找根 zL
  • 计算 αL = P( Z > zL)。

要计算 αU,请使用函数 L(z, n2, n1, S2, S1) 而不是函数 L(z, n1, n2, S1, S2) 应用前面的步骤。

表示法

说明
Si样本 i 的标准差
ρ总体标准差的比值
ρ0总体标准差的假设比值
α检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
zα标准正态分布的 α 百分位点上限
ni样本 i 中的观测值个数
Xij样本 i 中的第 j 个观测值
mi具有以下截尾比率的样本 i 的截尾均值:

Bonett 方法的置信区间

公式

置信区间是通过将检验过程反向来获取的。更具体地说,Minitab 使用下面的 ρ 等式求 p 值:

其中,cα/2 是均衡器常量(在下面描述),se(ρ) 是合并峰度的标准误(在下面描述)。通常,此等式有两个解,一个解 L < S1 / S2,另一个解 U > S1 / S2L 是置信下限,U 是置信上限。有关更多信息,请转至 Bonett 方法(这是一本白皮书,其中包含有关 Bonett 方法的模拟和其他信息)。

方差比值的置信限值可通过对标准差比值的置信限值求平方来获得。

均衡器常量

常量 cα 是作为对小样本的调整而包括的,可用于缓解非平衡设计中不等尾误差概率所带来的效应。cα 的值的计算公式如下所示:

当设计达到平衡时,常量会消失,当样本数量变大时,常量的效应会变得微不足道。

合并峰度的标准误

se(ρ) 是合并峰度的标准误,其计算公式如下:

其中 ri = (ni - 3) / ni 是合并峰度,其计算公式如下:

se(ρ) 还可以用各个样本的峰度值来表示。有关更多信息,请参见“使用平衡设计的 Bonett 方法检验”部分。

表示法

说明
α检验的显著性水平 = 1 - (置信水平 / 100)
Si样本 i 的标准差
ρ总体标准差的比值
zα/2标准正态分布的 α/2 百分位点上限
ni样本 i 中的观测值个数
Xij样本 i 中的第 j 个观测值
mi具有以下截尾比率的样本 i 的截尾均值:

Levene 方法的检验

公式

Levene 检验适用于连续数据,但不适用于汇总数据。

为了使用 Levene 检验来检验原假设 σ1 / σ2 = ρ,Minitab 针对值 Z1jρZ2j 执行单因子方差分析(其中,j = 1, …, n1n2)。

Levene 的检验统计量等于所生成的方差分析表中的 F 统计量。Levene 的检验 p 值等于此方差分析表中的 p 值。

  • H. Levene (1960)。Contributions to Probability and Statistics(针对概率和统计量的贡献)。斯坦福大学出版社,CA。
  • M.B. Brown 和 A.B. Forsythe (1974)。“Robust Tests for the Equality of Variance”(针对方差相等性的强大检验),Journal of the American Statistical Association(美国统计协会杂志),第 69 期,第 364 到 367 页。

自由度

在原假设下,检验统计量服从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布。

DF1 = 1

DF2 = n1 + n2 – 2

表示法

说明
Zij|Xi j η i|
说明
j1, 2, …, ni
ii1, 2
Xij单个观测值
ηi样本 i 的中位数
σ1第一个总体的标准差
σ2第二个总体的标准差
n1第一个样本数量
n2第二个样本数量

Levene 方法的置信区间

公式

对于连续数据,Minitab 使用以下公式为总体标准差之间的比值 (ρ) 计算置信限值。要获得总体方差之间比值的限值,请对下面的值求平方。

当指定备择假设比值 ≠ 假设比值时,ρ 的 100(1–α)% 置信区间的计算公式如下:
  • 如果 ,下限 =

    如果 ,则下限不存在

  • 如果 ,上限 =

    如果 ,则上限不存在

当您指定备择假设比值 < 假设比值时,ρ 的 100(1 – α)% 置信上限的计算公式如下:
  • 如果 ,则

  • 如果 ,则上限不存在
当您指定备择假设比值 > 假设比值时,ρ 的 100(1 – α)% 置信上限的计算公式如下:
  • 如果 ,则

  • 如果 ,则下限不存在

表示法

说明
ηi样本 i 的中位数
Zij其中 j = 1, 2, ... , nii = 1, 2,Xij 是单个观测值
MiZij 的均值
Si2Zij 的样本方差
vi
ρσ1 / σ2
n1第一个样本数量
n2第二个样本数量

F 检验方法的检验

F 检验适用于正态数据。要使用 F 检验来检验原假设 (σ1 / σ2 = ρ),Minitab 使用以下公式。

检验统计量的公式

自由度的公式

在原假设下,F 统计量服从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布。

DF1 = n1 – 1

DF2 = n2 – 1

p 值的公式

P 值的计算取决于备择假设,如下所示。
  • 对于具有“小于”备择假设的单侧检验,p 值等于从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布中获得等于或小于观测值的 F 统计量的概率。
  • 对于比值小于 1 的双侧检验,p 值等于 F 曲线下方面积的两倍,小于自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布中的观测值。
  • 对于比值大于 1 的双侧检验,p 值等于 F 曲线下方面积的两倍,大于自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布中的观测值。
  • 对于具有“大于”备择假设的单侧检验,p 值等于从自由度为 DF1 和 DF2 的 F 分布中获得等于或大于观测值的 F 统计量的概率。

表示法

说明
ρσ1 / σ2
σ1第一个总体的标准差
σ2第二个总体的标准差
S21第一个样本的方差
S22第二个样本的方差
n1第一个样本数量
n2第二个样本数量

F 检验方法的置信区间

当数据服从正态分布时,Minitab 使用以下公式为总体标准差之间的比值 (ρ) 计算置信界限。要获得总体方差之间比值的界限,请对下面的值求平方。

公式

当您指定“不等于”备择假设时,ρ 的 100(1 – α)% 置信区间的计算公式如下:

当您指定“小于”备择假设时,ρ 的 100(1 – α)% 置信上限的计算公式如下:

在指定“大于”备择假设时,ρ 的 100(1 – α)% 置信下限的计算公式如下:

表示法

说明
S1第一个样本的样本标准差
S2第二个样本的样本标准差
ρσ1 / σ2
n1第一个样本数量
n2第二个样本数量
F(α/2, n2–1, n1–1)自由度为 n2–1 和 n1–1 的 F 分布中的 α/2 临界值。
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