单方差 的方法和公式

请选择您所选的方法或公式。

标准差 (StDev)

标准差是离差的最常用度量,即数据从均值展开的程度。样本标准差等于样本方差的平方根。

如果列中包含 x1, x2,..., xN,而且均值为 ,则标准差的计算公式如下:

表示法

说明
xi样本中的第 i 个观测值
样本均值
S样本标准差
n样本数量

方差

方差度量数据围绕其均值的分散程度。方差等于标准差的平方。

公式

表示法

说明
xii 个观测值
观测值的均值
N非缺失观测值个数

卡方方法的置信区间和界限

当数据呈正态分布时,可以使用此方法。对于非正态数据来说,此方法不准确,即使样本数量非常大也是如此。

置信区间

总体标准差的 100(1 - α)% 置信区间的计算公式如下:
总体方差的 100(1 - α)% 置信区间的计算公式如下:

置信界限

如果您指定单侧检验,Minitab 会根据备择假设的方向计算单侧 100(1–α)% 置信界限。

  • 如果您指定“大于”备择假设,则总体标准差的 100(1–α)% 下限的计算公式如下:

    总体方差的 100(1–α)% 下限的计算公式如下:

  • 如果您指定“小于”备择假设,则总体标准差的 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:

    总体方差的 100(1–α)% 上限的计算公式如下:

表示法

说明
α100(1 – α)% 置信区间的 alpha 水平
n样本数量
S2样本方差
Χ2(p)自由度为 (n – 1) 的卡方分布的第 100p 个百分位数上限
σ总体标准差的实际值
σ2总体方差的实际值

Bonett 方法的置信区间和界限

针对任何连续数据(正态或非正态)使用此方法。1

置信区间

总体标准差的 100(1-α)% 置信区间的计算公式如下:
总体方差的 100(1-α)% 置信区间的计算公式如下:

置信界限

如果您指定单侧检验,Minitab 会根据备择假设的方向计算单侧 100(1–α)% 置信界限。

  • 如果您指定“大于”备择假设,则总体标准差的 100(1–α)% 下限的计算公式如下:
    总体方差的近似 100(1- a)% 下限的计算公式如下:
  • 如果您指定“小于”备择假设,则总体标准差的近似 100(1 – α)% 上限的计算公式如下:
    总体方差的近似 100(1- a)% 上限的计算公式如下:

表示法

说明
α 1 – 置信水平 / 100
cα/2 n / (nzα/2)
cα n / (nzα )
s2 样本方差的观测值
zα/2 标准正态分布在 1 – α/2 处的逆累积概率。如果 n 小于或等于 zα/2,Minitab 将不计算 Bonett 置信区间。
zα 标准正态分布在 1 – α 处的逆累积概率。如果 n 小于或等于 zα ,Minitab 将不计算 Bonett 置信区间。
se
= 估计的超出峰度
m 具有截尾比率的截尾均值等于:;当 n 小于或等于 5 时,m = 样本均值
σ 总体标准差的实际值
σ2 总体方差的实际值

卡方方法的假设检验

当数据呈正态分布时,可以使用此方法。对于非正态数据来说,此方法不准确,即使样本数量非常大也是如此。

公式

假设检验将下面的 p 值等式用于各自的备择假设:

H1σ2 > σ02:p 值 = P(Χ2x2)

H1σ2 < σ02:p 值 = P(Χ2x2)

H1σ2σ02:p 值 = 2 × min{P(Χ2x2),P(Χ2x2)}

表示法

说明
σ2总体方差的实际值
σ02总体方差的假设值
Χ2σ2 = σ02 时服从自由度为 (n – 1) 的卡方分布
x2
说明
S2样本方差的观测值
n样本数量

Bonett 方法的假设检验

此方法可用于任何连续数据(正态或非正态)。

公式

Bonett 过程与检验统计量无关。但是,Minitab 使用由置信限值定义的否定区域来计算 p 值。

对于双侧假设,p 值的计算公式如下:

p = 2 × min(αL, αU)

  • 对于单侧“小于”备择假设,在将 α/2 替换为表示法中的 α 之后,p 值将计算为 αU
  • 对于单侧“大于”备择假设,在将 α/2 替换为 α 之后,p 值将计算为 αL

表示法

说明
σ02假设方差
αL等式的最小解 α
αU等式的最小解 α
cα/2n / (nzα/2)
α1 – 置信水平 / 100
s2样本方差的观测值
zα/2标准正态分布在 1 – α/2 处的逆累积概率。如果 n 小于或等于 zα/2,Minitab 将不计算 Bonett 置信区间。
se
说明
= 估计的超出峰度
m具有截尾比率的截尾均值等于:m = 0(当 n 小于或等于 5 时)
1 D.G. Bonett (2006)。“Approximate confidence interval for standard deviation of nonnormal distributions”(非正态分布的标准差的近似置信区间),Computational Statistics & Data Analysis(计算统计和数据分析)第 50 期,第 775 到 782 页。
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