单指数平滑 的方法和公式

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单指数平滑

平滑(预测)值是通过两种方式之一获取的:使用 Minitab 生成的权重或者使用指定的权重。

最优 ARIMA 权重

  1. Minitab 使用 ARIMA (0,1,1) 模型进行拟合并存储拟合值。
  2. 平滑值是 ARIMA 模型拟合值,但会滞后一个时间单位。
  3. 通过向后预测得到的初始平滑值(时间 1 处):
    • 初始平滑值 = [周期 2 中的平滑值 – α (周期 1 中的数据)] / (1 – α)

表示法

说明
1 – α 估计 MA 参数

指定的权重

  1. Minitab 使用初始平滑值(位于时间 0 处)的前六个(或者前 N 个,前提是 N < 6)观测值的平均值。等效方式是,Minitab 使用初始拟合值(位于时间 1 处)的前六个(或者前 N 个,前提是 N < 6)观测值的平均值。 Fit(i) = Smoothed(i – 1)。
  2. 后续的平滑值根据如下公式计算:
    • 时间 t 处的平滑值 = α (时间 t 处的数据) + (1 – α) (时间 t – 1 处的平滑值)

表示法

说明
α 权重

预测

时间 t 处的拟合值是时间 t – 1 处的平滑值。预测值是预测原点处的拟合值。如果提前预测 10 个时间单位,则每个时间的预测值将是原点处的拟合值。原点之前的数据用于进行平滑。

在单纯预测中,时间 t 处的预测值是时间 t – 1 处的数据值。执行权重为一的单指数平滑以执行单纯预测。

预测限

公式

基于平均绝对偏差 (MAD)。上限和下限的公式为:
  • 上限 = 预测值 + 1.96 × 1.25 × MAD
  • 下限 = 预测值 – 1.96 × 1.25 × MAD

值 1.25 是一个常量,大致等于标准差除以平均绝对偏差。因此,标准差大致为 1.25 × MAD。

平均绝对百分比误差 (MAPE)

平均绝对百分比误差 (MAPE) 度量时间序列值拟合的准确度。MAPE 以百分比表示准确度。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数

平均绝对误差 (MAD)

平均绝对偏差 (MAD) 度量时间序列值拟合的准确度。MAD 以与数据相同的单位表示准确度,从而有助于使误差量概念化。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数

平均偏差平方和 (MSD)

无论采用哪种模型,平均偏差平方和 (MSD) 始终是使用相同的分母 n 计算的。对于异常大的预测误差,MSD 度量比 MAD 敏感。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数
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