双指数平滑 的方法和公式

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模型方程

双指数平滑在每个周期处采用水平分量和趋势分量。双指数平滑使用两个权重(又称为平滑参数)在每个周期处更新分量。双指数平滑方程如下所示:

公式

Lt = α Yt + (1 – α) [Lt –1 + Tt –1]

Tt = γ [Lt Lt –1] + (1 – γ) Tt –1

= Lt –1 + Tt –1

如果第一个观测值编号为一,则必须初始化时间零处的水平和趋势估计值才能继续。初始化方法用于确定如何以两种方式之一获取平滑值:使用最优权重或者使用指定的权重。

表示法

说明
Lt 时间 t 处的水平
α 水平的权重
Tt 时间 t 处的趋势
γ 趋势的权重
Yt 时间 t 处的数据值
时间 t 处的拟合值(即向前一步的预测)

权重

最优 ARIMA 权重

  1. Minitab 使用 ARIMA (0,2,2) 模型与数据拟合,以尽可能使误差平方和最小。
  2. 随后,向后预测方法对趋势和水平分量进行初始化。

指定的权重

  1. Minitab 将线性回归模型与时间序列数据(y 变量)和时间(x 变量)的关系进行拟合。
  2. 此回归中的常量是水平分量的初始估计值,斜率系数是趋势分量的初始估计值。

指定对应于等根 ARIMA (0, 2, 2) 模型的权重时,Holt 方法特殊化为 Brown 方法1

预测

双指数平滑使用水平和趋势分量生成预测。对时间点 t 向前 m 个周期的预测为:

公式

Lt + mTt

预测原点时间之前的数据将用于进行平滑。

表示法

说明
Lt 时间 t 处的水平
Tt 时间 t 处的趋势

预测限

公式

基于平均绝对偏差 (MAD)。上限和下限的公式如下所示:
  • 上限 = 预测值 + 1.96 × dt × MAD
  • 下限 = 预测值 – 1.96 × dt × MAD

表示法

说明
β max{α, γ)
δ 1 – β
α 水平平滑常量
γ 趋势平滑常量
τ
b 0(T)
b 1(T)

平均绝对百分比误差 (MAPE)

平均绝对百分比误差 (MAPE) 度量时间序列值拟合的准确度。MAPE 以百分比表示准确度。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数

平均绝对误差 (MAD)

平均绝对偏差 (MAD) 度量时间序列值拟合的准确度。MAD 以与数据相同的单位表示准确度,从而有助于使误差量概念化。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数

平均偏差平方和 (MSD)

无论采用哪种模型,平均偏差平方和 (MSD) 始终是使用相同的分母 n 计算的。对于异常大的预测误差,MSD 度量比 MAD 敏感。

公式

表示法

说明
yt 时间 t 处的实际值
拟合值
n 观测值个数
1 N.R. Farnum 和 L.W. Stanton (1989)。Quantitative Forecasting Methods(定量预测方法)。PWS-Kent。
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