分布 ID 图(右删失)中概率图的方法和公式

概率图

概率图包括以下内容:
  • 标绘点,它们是顺序数据集的对应概率的估计百分位数。
  • 拟合线,它们是从基于极大似然参数估计值的分布得到的预期百分位数。
  • 置信区间,它们是百分位数的置信区间。

由于标绘点并不依赖于任何分布,因此它们对于所生成的任意概率图都是一样的(变换前)。但是,拟合线会因所选参数分布的不同而不同。因此您可以使用概率图来评估某个特定分布是否与您的数据拟合。通常,点越接近拟合线,表明拟合得越好。

标绘点

概率图的标绘点表示产品在时间 t 之前失效的似然性。对于右删失或非删失数据,Minitab 使用以下方法计算标绘点:
  • 中位数秩方法(默认)
  • 修正后 Kaplan-Meier 方法
  • Herd-Johnson 方法
  • Kaplan-Meier 方法

如果数据中包含结失效时间(相同的失效时间),则将绘制所有点(默认)、平均值(中位数)或最大结点数。如果结涉及到失效和延期,则会认为失效发生在延期之前。

这些方法中的每一种方法都生成 F(t) 的非参数估计值、随机变量 T(失效时间)的累积分布函数。

对于包含 n 个观测值的样本,假设 x(1), x(2),...,x(n) 为顺序统计量或者按从小到大排序的数据。因此,i 是第 I 个排序观测值 x(I) 的秩。每种方法的公式如下:

中位数秩(Benard 方法)

非删失数据的公式

删失数据的公式

修正后 Kaplan-Meier

非删失数据的公式

删失数据的公式

Herd-Johnson 估计值

非删失数据的公式

删失数据的公式

Kaplan-Meier 乘积限估计值

注意

如果最大的观测值是非删失数据,则 Kaplan-Meier 方法会为最大的非删失观测值生成 p = 1。在这种情况下,最大观测值的 Kaplan-Meier 估计值会生成一个无法用在图中的数字。此问题可通过重新计算最大 p(等于先前 p 和 1 之间距离的 90%)来更正。

注意

对于任意删失数据,Minitab 使用 Turnbull 方法估计累积概率1

非删失数据的公式

删失数据的公式

表示法

说明
ii具有结的数据点的秩(假设为连续秩)
n数据中的观测值个数
δj 0(如果第 j 个观测值是删失的)或 1(如果第 j 个观测值是非删失的)
ARi
AR0等于 0
p'i

拟合线

下表显示拟合线的 x 和 y 坐标的构造方式。请注意以下几点:
  • 当您使用 Weibull、3 参数 Weibull、指数、对数正态或对数 Logistic 分布时,Minitab 将 x 轴变换为对数尺度。
  • 在默认情况下,Minitab 将 y 轴变换为百分比尺度。如果您将 y 尺度类型更改为概率,Minitab 会将 y 轴更改为概率尺度。

分布 x 坐标 y 坐标
最小极值 失效时间 ln(–ln(1 – p))
Weibull ln(失效时间) ln(–ln(1 – p))
3 参数 Weibull ln(失效时间 – 阈值) ln(–ln(1 – p))
指数 ln(失效时间) ln(–ln(1 – p))
双参数指数 ln(失效时间 – 阈值) ln(–ln(1 – p))
正态 失效时间 Φ –1 (p)
对数正态 ln(失效时间) Φ –1 (p)
3 参数对数正态 ln(失效时间 – 阈值) Φ –1 (p)
Logistic 失效时间
对数 Logistic ln(失效时间)
3 参数对数 Logistic ln(失效时间 – 阈值)

表示法

说明
Φ –1 标准正态分布的逆 CDF
ln (x)x 的自然对数
1 B.W. Turnbull (1976)。“The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data”(具有任意分组、删失和截尾数据的经验分布函数),Journal of the Royal Statistical Society(皇家统计学会杂志),第 38 期,第 290-295 页。
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