非线性回归的回归方程和参数估计值

请查找定义和解释指导,了解参数估计表中的回归方程和每个统计量。

方程

使用回归方程来描述模型中响应和项之间的关系。回归方程是回归线的代数表示。将每个预测变量的值输入方程可计算平均响应值。与线性回归不同,非线性回归方程可以采取多种不同形式。

对于非线性方程,在确定每个预测变量对响应的效应时可能不如线性方程那样直观。与线性模型中的参数估计值不同,非线性模型中的参数估计值的解释不一致。每个参数的正确解释取决于预期函数以及参数在预期函数中的位置。如果非线性模型只包含一个预测变量,可评估拟合线图来查看预测变量和响应之间的关系。

解收敛并不一定能保证模型拟合最优或误差平方和 (SSE) 最小。局部 SSE 最小或预期函数不正确都会导致在错误参数值的条件下收敛。因此,至关重要的是,对参数值、拟合线图和残差图进行检查,确定模型是否拟合且参数值是否合理。

解释

在这些结果中,存在一个预测变量和七个参数估计值。响应变量是膨胀量,预测变量是开尔文温度。这个冗长的方程描述了响应变量和预测变量之间的关系。开尔文温度每提高一度对于铜膨胀的影响高度取决于起始温度。变化的温度对铜膨胀的影响作用不太容易总结。请评估拟合线图来查看预测变量和响应变量之间的关系。

如果向方程中输入开尔文温度值,结果为铜膨胀的拟合值。

方程 膨胀系数 = (1.07764 - 0.122693 * 开尔文温度 + 0.00408638 * 开尔文温度 ** 2 - 1.42627e-006 * 开尔文温度 ** 3) / (1 - 0.00576099 * 开尔文温度 + 0.000240537 * 开尔文温度 ** 2 - 1.23144e-007 * 开尔文温度 ** 3)

估计值

如果算法正确收敛于参数值,则该组参数估计值将最小化误差平方和 (SSE)。

解收敛并不一定能保证模型拟合最优或误差平方和 (SSE) 最小。局部 SSE 最小或预期函数不正确都会导致在错误参数值的条件下收敛。因此,至关重要的是,对参数值、拟合线图和残差图进行检查,确定模型是否拟合且参数值是否合理。

解释

对于非线性方程,在确定每个预测变量对响应的效应时可能不如线性方程那样直观。与线性模型中的参数估计值不同,非线性模型中的参数估计值的解释不一致。每个参数的正确解释取决于预期函数以及参数在预期函数中的位置。如果非线性模型只包含一个预测变量,可评估拟合线图来查看预测变量和响应之间的关系。

在这些结果中,存在一个预测变量和七个参数估计值。响应变量是膨胀量,预测变量是开尔文温度。这个冗长的方程描述了响应变量和预测变量之间的关系。开尔文温度每提高一度对于铜膨胀的影响高度取决于起始温度。变化的温度对铜膨胀的影响作用不太容易总结。请评估拟合线图来查看预测变量和响应变量之间的关系。

参数估计 参数 估计 标准误估计值 95% 置信区间 b1 1.07764 0.170702 ( 0.744913, 1.42486) b2 -0.12269 0.012000 (-0.147378, -0.09951) b3 0.00409 0.000225 ( 0.003655, 0.00455) b4 -0.00000 0.000000 (-0.000002, -0.00000) b5 -0.00576 0.000247 (-0.006246, -0.00527) b6 0.00024 0.000010 ( 0.000221, 0.00026) b7 -0.00000 0.000000 (-0.000000, -0.00000) 膨胀系数 = (b1 + b2 * 开尔文温度 + b3 * 开尔文温度 ** 2 + b4 * 开尔文温度 ** 3) / (1 + b5 * 开尔文温度 + b6 * 开尔文温度 ** 2 + b7 * 开尔文温度 ** 3)

标准误估计值

如果反复从同一总体中取样,估计值的标准误 (SE Estimate) 会估计您将获取的参数估计值之间的变异性。

解释

使用估计值的标准误可以度量参数估计值的精度。标准误越小,估计值越精确。

95% 置信区间

这些置信区间 (CI) 是可能包含模型中每个参数的实际值的值范围。

由于样本的随机性,来自总体的两个样本不可能生成相同的置信区间。但是如果随机取样多次,则所获得的特定百分比的置信区间会包含未知的总体参数。这些包含参数的置信区间的百分比是区间的置信水平。

置信区间由以下两部分组成:
点估计
此单个值通过使用样本数据来估计总体参数。置信区间集中在此点估计值附近。
边际误差
边际误差定义了置信区间的宽度并由样本、样本数量和置信水平中的观测变异性确定。要计算置信区间的上限,需要将边际误差与点估计值相加。要计算置信区间的下限,需要从点估计值减去边际误差。

解释

使用置信区间评估每个参数估计值。

例如,当置信水平为 95% 时,包含总体参数值的置信区间的置信度为 95%。置信区间有助于评估结果的实际意义。利用您的专业知识可以确定置信区间是否包含对您的情形有实际意义的值。如果区间因为太宽而毫无用处,请考虑增加样本数量。

如果需要确定参数估计值是否在统计意义上显著,请使用参数的置信区间。如果此范围不包含原假设值,则参数的统计意义显著。Minitab 无法计算非线性回归中参数的 p 值。对于线性回归,每个参数的原假设值均为 0(没有效应),而且 p 值以此值为基础。但是,在非线性回归中,每个参数的正确原假设值取决于预期函数以及参数在预期函数中的位置。

对于某些数据集、预期函数和置信水平,其中一个或两个置信边界可能不存在。Minitab 在会话窗口使用星号指示缺失的结果。如果置信区间有缺失边界,置信水平较低时可能产生双侧区间。

参数估计的相关矩阵

该矩阵显示参数估计值之间的相关关系。如果参数估计值高度相关,请考虑减少参数数量以简化模型。

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