拟合混合响应模型中固定效应检验的方法和公式

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固定效应项检验

固定效应项检验为 F 检验。检验的原始假设取决于该检验是用于固定因子项还是协变量项。对于固定因子项,原假设为固定因子项不会对响应产生显著影响。对于协变量项,原假设为响应和协变量项之间不存在关联。

Minitab 提供两种用于检验固定效应项的方法:Kenward-Roger 近似和 Satterthwaite 近似。有关 Kenward-Roger 近似的更多信息,请参见 Kenward 和 Roger。1有关 Satterthwaite 近似的更多信息,请参见 Giesbrecht 和 Burns 2以及 Fai 和 Cornelius。3

F 统计量的分母自由度的计算和 F 统计量的计算有所不同。对于给定的 F 统计量,两种方法的分子自由度的计算和 p 值的确定过程都相同。

Kenward-Roger 近似

Kenward-Roger 近似是一种用于检验固定效应项的统计显著性的方法。

F 统计量

其中

表示法

说明
l分子自由度,即要检验的项中的参数个数
0具有 0 个分量的矩阵
Il具有维度 l 的恒等矩阵
c + 1方差分量数
wrs以下项的渐近方差-协方差矩阵的第 (r, s) 个分量
V−1方差-协方差矩阵的逆矩阵

有关该表示法的更多详细信息,请转到“方法”部分。

分母自由度

其中

Kenward-Roger λ

Kenward-Roger λ 的值取决于两个条件:
如果两个条件都成立,则公式如下:

如果任一条件成立,则 λ = 1。

在原假设下,当自由度为 DF Num 和 DF Den 时,lambda × F 服从渐进 F 分布。P 值的计算中使用此属性。

Satterthwaite 近似

Satterthwaite 近似是一种用于检验固定效应项的统计显著性的方法。

F 统计量

其中,L 的定义与 Kenward-Roger 近似中的定义相同。

分母自由度

用于确定自由度的过程包括多个步骤。

  1. 对固定效应参数向量估计值的方差执行频谱分解:

    其中,P 是正交特征向量矩阵,而 D 是对角特征向量矩阵,两者都具有 l × l 维度。

  2. lr 定义为 P'L, r = 1, ..., l 的第 r 行,并且设

    其中,drD 的第 r 个对角元素,而 W 是渐近方差-协方差矩阵(对于),并且 gr 是以下元素的梯度向量:

    其中

    i = 1, …, c,并且

  3. 其中,是指示函数,用于排除符合以下条件的项

  4. 分母自由度取决于 E 的值。

    • 如果 E > l,则自由度如下:
    • 否则,DF Den = 1

分子自由度 (DF Num)

固定效应的自由度取决于效应的类型。
效应 自由度
固定因子
协变量 1
包含固定因子的交互作用

表示法

说明
k固定因子项中的水平数
m交互作用中的因子数

P 值 – 固定效应检验

P 值根据以下表达式进行计算:

表示法

说明
自由度分别等于分子自由度和分母自由度的 F 分布的累积分布函数
为某项计算的 F 值
1 Kenward, M.G. 和 Roger, J. H. (1997)。Small Sample Inference for Fixed Effects from Restricted Maximum Likelihood(根据受限极大似然的小样本固定效应推断)。生物统计学,第 53 卷,第 3 期,第 983 至 997 页。
2 Giesbrecht, F.G. 和 Burns, J. C. (1985)。Two-Stage Analysis Based on a Mixed Model: Large-Sample Approximation Theory and Small-Sample Simulation Results(基于混合模型的两阶段分析:大样本近似理论和小样本模拟结果),生物计量学,第 41 卷,第 2 期,第 477 至 486 页。
3 Fai, A. H. 和 Cornelius, P. L. (1996) Approximate F-Tests of Multiple Degree of Freedom Hypotheses in Generalized Least Squares Analyses of Unbalanced Split-Plot Experiments(不平衡裂区试验的广义最小二乘分析中多重自由度假设的近似 F 检验),统计计算模拟杂志,第 54 卷,第 363 至 378 页
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