均值分析中采用正态数据的单因子设计的方法和公式

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方法

均值分析是确定单个因子水平均值是否不同于总平均值(一个因子中所有观测值的均值)的过程。下面所列的是 Minitab 用于计算单因子模型 ANOM 结果的步骤:

  1. 计算每个因子水平的均值,y̅i. (i = 1,…, r)。
  2. 计算所有观测值的总均值,y̅..。
  3. 计算 sp,这是观测值标准差的估计值。
  4. 确定值 hα,它是针对检验所选的显著性水平的相应值,并且在上决策线和下决策线中使用。
  5. 计算决策上限和下限(UDL 和 LDL)。
  6. 使用上参考线和下参考线以及总均值的中心线来绘制每个因子水平的均值。

均值

公式

处于每个因子水平的平均观测值。Minitab 在图形中绘制每个因子水平的均值。

表示法

说明
ni 处于因子水平 i 的观测值数
yij 处于第 i 个因子水平的第 j观测值

总平均值(中心线)

公式

因子水平所有观测值的平均值。Minitab 使用总平均值作为图形上的中心线。

表示法

说明
y...样本中所有观测值的总和
nT观测值总数

标准差 (StDev)

表示法

说明
yij处于第 i 个因子水平的观测值
处于第 i 个因子水平的观测均值
ni处于第 i 个因子水平的观测值数

合并标准差

所有因子水平的变异估计值。合并标准差用于计算决策限。

公式

表示法

说明
r水平数
nT观测值总数

决策上限和下限

决策限表明因子水平均值与总均值是否不同。决策上限 (UDL) 或决策下限 (LDL) 之外的点与总均值在统计意义上不同。

决策上限和下限的计算基于因子中的水平数和每个水平的观测值数而有所不同。

每个水平的观测值均相等的双水平因子

  • UDL = y.. + hα sp* Sqrt(1/ nT)
  • LDL = y.. - hα sp* Sqrt(1/ nT)

其中,hα = 绝对值 (t(a / 2, nT - 2)),sp = 合并标准差,且 nT = 观测值总数。

具有 2 个以上水平且每个水平观测值数量均相等的因子

  • UDL = y.. + hα sp* Sqrt[(r-1) / (rn1)]
  • LDL = y.. - hα sp* Sqrt[(r-1) / (rn1)]

其中,r = 因子中的水平数,n1 = 每个水平的观测值数。

自由度为 (n1- 1) * r。

对于 0.001 和 0.1 范围以外的 alpha 值,决策限为:

  • UDL = y.. + hα sp* Sqrt[(nT - n1) / (nT* n1)]
  • LDL = y.. - hα sp* Sqrt[(nT - n1) / (nT* n1)]

其中,hα = 绝对值 (t(α2, df),α2 = (1- (1- a )** (1 / r)) / 2 且 df = nT - r。

要获得 α 值介于 0.001 和 0.1 之间的 hα,请查看 Nelson1

具有 2 个或更多水平并且每个水平观测值数均不相等的因子

  • UDLi = y.. + hα sp* Sqrt[(nT - ni) / (nT* ni)]
  • LDLi = y.. - hα sp* Sqrt[(nT - ni) / (nT* ni)]
其中,ni = 给定因子水平的观测值数,hα = 绝对值 (t(α2, df),其中 α2 = (1- (1- a )** (1 / r)) / 2 且 df = nT - r。
  1. L.S. Nelson (1983)。“Exact Critical Values for Use with the Analysis of Means”(用于均值分析的精确临界值),Journal of Quality Technology(质量技术杂志),第 15 期,第 40-44 页。
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