Selecione o método ou a fórmula de sua escolha.
Permita que a função de distribuição seja F(χ,θ) para Ω em algum espaço de parâmetros com dimensão maior ou igual a 1.
Permita que L < U seja duas estatísticas com base na amostra de tal modo que, para todos os valores indicados, α e P, com 0 < α < 1 e 0 < P < 1, o seguinte se mantém para todos os θ em Ω:
Assim, o intervalo [ L, U] é um intervalo de tolerância de bilateral com um conteúdo = P x 100% e nível de confiança = 100(1 - α)%. Tal intervalo pode ser chamado de intervalo de tolerância bilateral (1 - α, P). Por exemplo, se α = 0,10 e P = 0,85, o intervalo resultante é chamado de intervalo de tolerância bilateral (90% , 0,85).
Em outras palavras, para determinados valores de P, α, ε e α*, o tamanho amostral é determinada de tal modo que
e
Esta abordagem baseia-se no fato de que, para qualquer P* > P, P( C>P*) é uma função decrescente do tamanho amostral e, portanto, pode ser usada para avaliar a precisão.
Escolher um ε e um α* pequenos produz o efeito de reduzir o tamanho do intervalo de tolerância e, assim, é necessário um maior tamanho amostral. Valores típicos de ε e α* são 0,10, 0,05 ou 0,01.
As definições e conceitos acima também se aplicam aos intervalos de tolerância unilaterais.
Faulkenberry e Daly1 mostram que, para determinados valores de α, P, ε e α*, o tamanho amostral necessário para um intervalo unilateral é obtido encontrando-se o mínimo para n que satisfaça a seguinte equação:
onde a notação tx,y(d) representa o yo percentil de uma distribuição t não central com x graus de liberdade e parâmetro de não centralidade d. Os parâmetros de não centralidade δ e δ* são calculados da seguinte maneira:
onde zp é o Po percentil da distribuição normal padrão.
O Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o valor mínimo exigido para n.
Para os cálculos para o tamanho da amostra de um intervalo bilateral, use a função I (k, n, P), vá para Métodos e fórmulas para Intervalos de tolerância (Distribuição normal) e clique em "Intervalos de tolerância exatos para distribuições normais".
O Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o valor mínimo exigido para n. Para obter informações adicionais, consulte Odeh, Chou e Owen2.
Termo | Descrição |
---|---|
1 – α | o nível de confiança do intervalo de tolerância |
P | a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo) |
ε | a margem de erro do intervalo de tolerância |
α* | a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância |
n | o número de observações na amostra |
P* = P + ε
Os cálculos para a margem de erro são semelhantes aos cálculos do tamanho amostral descritos em Fórmulas gerais para tamanho amostral para intervalo de tolerância.
Para determinados valores de n, α, P e α * a margem de erro, ε, para um intervalo unilateral é obtido primeiramente resolvendo-se δ* na equação a seguir:
onde a notação tx,y(d) representa o yo percentil de uma distribuição t não central com x graus de liberdade e parâmetro de não centralidade d. O Minitab usa uma rotina localizadora de raiz numérica para calcular δ*. Com o valor de δ* determinado, o valor de ε pode ser obtido na seguinte fórmula:
Os cálculos para a margem de erro de um intervalo de dois lados baseiam-se na função I( k, n, p), descrita em intervalos de tolerância exatos para distribuições normais.
Para determinados valores de n, α, P e α*, a margem de erro, ε, para um intervalo bilateral é obtido utilizando o algoritmo descrito em Odeh, Chou e Owen1. Primeiro, resolva a seguinte equação para k:
Termo | Descrição |
---|---|
1 – α | o nível de confiança do intervalo de tolerância |
P | a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo) |
P* | Porcentagem máxima da população no intervalo |
ε | a margem de erro do intervalo de tolerância |
α* | a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância |
n | o número de observações na amostra |
Ou seja n – k = FW–1 (1 – α), onde FW–1(.) representa a função distribuição acumulada inversa de W = n – Y.
Da mesma forma, é possível mostrar que um limite de tolerância unilateral (1 – α, P) é determinado por X( n – k + 1 ), onde k satisfaça as condições acima para limite inferior.
Em ambos os casos, a cobertura real ou efetiva é dada como P(Y > k).
Além disso, um intervalo de tolerância bilateral de (1 – α, P) pode ser dado como (Xr, Xs) onde k = s – r é o menor inteiro que satisfaça a seguinte condição:Tornou-se prática comum tomar s = n – r + 1 de forma que r = ( n – k + 1) / 2. Ambos r e s são arredondados para o número inteiro mais próximo. A cobertura real ou efetiva é dada por P( V ≤ k – 1).
Os critérios para cálculo do tamanho amostral para intervalos de tolerância não paramétricos (tanto unilateral como bilateral) são semelhantes aos descritos para dados normais. Mais especificamente, para um limite de tolerância inferior unilateral (1 – α, P), o critério consiste em determinar o tamanho amostral, n, e o maior inteiro k que satisfaça as condições a seguir:
Esta condição é equivalente a encontrar n e o maior inteiro k que satisfaça as condições a seguir:
em que FU(.) representa a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória U que é distribuída como uma distribuição beta com parâmetros α = k e b = n – k + 1.
Como destacado por Hahn e Meeker1 o critério produz os requisitos de tamanho amostral que são idênticos para ambos os intervalos de tolerância unilateral e bilateral. Assim, utilizamos o critério acima para ambos os intervalos unilateral e bilateral.
Para os valores dados de ε, P, e α*, o Minitab usa um algoritmo iterativo para encontrar o tamanho mínimo da amostra que satisfaz as duas condições acima. Para valores dados de n, P e α*, o Minitab também calcula a margem de erro que satisfaça as condições acima utilizando um algoritmo iterativo e, em seguida, calcula o intervalo para a porcentagem máxima de população no intervalo usando a fórmula a seguir.
P* = P + ε
Para obter detalhes adicionais, consulte Hahn e Meeker1.
Termo | Descrição |
---|---|
1 - α | o nível de confiança do intervalo de tolerância |
P | a cobertura do intervalo de tolerância (a percentagem mínima alvo da população no intervalo) |
P* | Porcentagem máxima da população no intervalo |
ε | a margem de erro do intervalo de tolerância |
α* | a probabilidade de margem de erro para o intervalo de tolerância |
n | o número de observações na amostra |