Métodos e fórmulas para Teste para 2 variâncias

Fórmula

O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.

Notação

Termo	Descrição
	média da amostra i
S2i	variância da amostra i
Xij	jq medição da ia amostra
ni	tamanho amostral i

Fórmula para a estatística de teste

Quando n₁ = n₂ , o teste estatístico é Z². Se a hipótese nula, ρ = ρ₀ for verdadeira, então Z² é distribuído como uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Z² é dado por:

onde se(ρ₀) é o erro padrão da curtose combinada que é dado por:

onde r_i = ( n_i - 3) / n_i e é a curtose combinada que é dada por:

se²(ρ₀) também pode ser expressa em termos de valores de curtose das amostras individuais, , como segue:

em que:

Fórmula para o valor de p

Permita que z² seja o valor de Z² que é obtido a partir dos dados. Sob a hipótese nula, H₀: ρ = ρ₀ , Z é distribuído como a distribuição normal padrão. Portanto, os valores de p para as hipóteses alternativas (H₁) são dados da seguinte maneira.

Notação

Termo	Descrição
Si	o desvio padrão da amostra i
ρ	a razão dos desvios padrão da população
ρ0	a razão hipotética dos desvios padrão da população
α	o nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
ni	número de observações na amostra i
	o valor de curtose para a amostra i
Xij	a ja observação na amostra i
mi	a média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Fórmula

Quando n₁ ≠ n₂ , não existe nenhum teste estatístico. Em vez disso, o valor de p é calculado invertendo o procedimento do intervalo de confiança. O valor de p para o teste é dado por:

P = 2 mín (α_L, α_U)

em que α_L é o menor valor de α para o qual mantém o seguinte:

e α_U é o menor valor de α para o qual mantém o seguinte:

em que c_α é um equalizador constante descrito abaixo e se(ρ₀) é o erro padrão da curtose combinada, que é dada por:

em que r_i = (n_i - 3) / n_i e é a curtose combinada que é dada por:

se(ρ₀) também pode ser expressa em termos de valores de curtose os das amostras individuais. Para obter mais informações, vá para o teste para o método de Bonett com experimentos balanceados.

Constante equalizadora

A constante c_α está incluída como um ajuste de pequenas amostras para mitigar o efeito de probabilidades de erro de caudas desiguais em experimentos não balanceados. O valor de c_α é dado por:

A constante desaparece quando os projetos são balanceados e seu efeito torna-se desprezível com o aumento do tamanho das amostras.

Encontrar α_L e α_U

Encontrar α_L e α_U é equivalente a encontrar as raízes das funções L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂ ) e L(z , n₂ , n₁ , S₂ , S₁ ), em que L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂) é dado por:

Permita que:

Para calcular α_U, aplique as etapas anteriores usando a função, L(z, n₂, n₁, S₂, S₁), em vez da função, L(z, n₁, n₂, S₁, S₂).

Notação

Termo	Descrição
Si	o desvio padrão da amostra i
ρ	a razão dos desvios padrão da população
ρ0	a razão hipotética dos desvios padrão da população
α	o nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
zα	o ponto percentil superior α da distribuição normal padrão
ni	número de observações na amostra i
Xij	a ja observação na amostra i
mi	a média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Fórmula

Os intervalos de confiança são obtidos invertendo-se o procedimento de teste. Mais especificamente, o Minitab resolve a seguinte equação para ρ:

em que c_α/2 é uma constante equalizadora (descrita abaixo) e se(ρ) é o erro padrão da curtose combinada (descrita abaixo). Tipicamente, esta equação tem duas soluções, uma solução L < S₁ / S₂ , e uma solução U > S₁ / S₂. L é o intervalo de confiança inferior e U é o limite de confiança superior. Para obter mais informações, acesse Método de Bonnet, que é um white paper que tem simulações e outras informações sobre o Método de Bonett.

Os limites de confiança para a razão das variâncias são obtidos através da quadratura dos limites de confiança para a razão dos desvios padrão.

Constante equalizadora

A constante c_α está incluída como um ajuste de pequenas amostras para mitigar o efeito de probabilidades de erro de caudas desiguais em experimentos não balanceados. O valor de c_α é dado por:

A constante desaparece quando os projetos são balanceados e seu efeito torna-se desprezível com o aumento do tamanho das amostras.

Erro padrão da curtose combinada

se(ρ) é o erro padrão da curtose combinada que é dado por:

em que r_i = (n_i - 3) / n_i e é a curtose combinada que é dada por:

se(ρ) também pode ser expressa em termos de valores de curtose os das amostras individuais. Para obter mais informações, consulte a seção sobre o teste para o método de Bonett com experimentos balanceados.

Notação

Termo	Descrição
α	o nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
Si	o desvio padrão da amostra i
ρ	a razão dos desvios padrão da população
zα/2	o ponto percentil superior α/2 da distribuição normal padrão
ni	número de observações na amostra i
Xij	a ja observação na amostra i
mi	a média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Fórmula

O teste de Levene é apropriado para dados contínuos. O teste de Levene não está disponível para dados resumidos.

Para testar a hipótese nula de que σ₁ / σ₂ = ρ com o teste de Levene, o Minitab executa uma ANOVA com um fator sobre os valores Z_1j e ρZ_2j (em que j = 1, …, n₁ ou n₂).

O teste estatístico de Levene é igual ao valor da estatística F na tabela ANOVA resultante. O valor de p do teste de Levene é igual ao valor de p nesta tabela ANOVA.

• H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
• M.B. Brown and A.B. Forsythe (1974). "Robust Tests for the Equality of Variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Graus de liberdade

Sob a hipótese nula, a estatística de teste segue uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.

DF1 = 1

DF2 = n₁ + n₂ – 2

Notação

Fórmula

Para dados contínuos, o Minitab calcula os limites de confiança para a razão (ρ) entre os desvios padrão da população com as fórmulas a seguir. Para obter limites para a razão entre as variâncias da população, apresentamos o quadrado dos valores abaixo.

Notação

Termo	Descrição
t α	o valor crítico α de uma distribuição t com n1 + n2 – 2 graus de liberdade
ηi	a mediana da amostra i
Zij	em que j = 1, 2, ... , ni e i = 1, 2 e Xij são observações individuais
Mi	a média de Zij
Si2	a variância da amostra de Zij
vi
ρ	σ1 / σ2
n1	o tamanho da primeira amostra
n2	o tamanho da segunda amostra

O teste F é adequado para dados normais. Para testar a hipótese nula de que σ₁ / σ₂ = ρ com o teste F, o Minitab utiliza as fórmulas a seguir.

Fórmula para a estatística de teste

Fórmula para os graus de liberdade

Sob a hipótese nula, a estatística F segue uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.

DF1 = n₁ – 1

DF2 = n₂ – 1

Fórmula para o valor de p

Notação

Quando os dados seguem uma distribuição normal, o Minitab calcula os limites de confiança para a proporção (ρ) entre os desvios padrão da população com as seguintes fórmulas. Para obter limites para a razão entre as variâncias da população, apresentamos o quadrado dos valores abaixo.

Fórmula

Quando você especifica uma hipótese alternativa "não igual", um intervalo de confiança de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Quando você especifica uma hipótese alternativa "menor que", um limite de confiança superior de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Quando você especifica uma hipótese alternativa "maior que", um limite de confiança de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Notação