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Método de estimativa de mínimos quadrados e método de estimativa de máxima verosimilhança

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Neste tópico

O que são os métodos de mínimos quadrados e máxima verossimilhança?

Duas abordagens comumente usadas para estimar parâmetros populacionais a partir de uma amostra aleatória são o método de estimativa de máxima verosimilhança (padrão) e o método de estimativa de mínimos quadrados.
Método de estimativa de máxima verosimilhança (MLE)
A função de verossimilhança indica quão provável a amostra observada é como uma função de possíveis valores de parâmetro. Por tanto, maximizar a função de verossimilhança determina os parâmetros que têm maior probabilidade de produzir os dados observados. De um ponto de vista estatístico, o MLE é normalmente recomendado para grandes amostras porque ele é versátil, aplicável à maioria dos modelos e diferentes tipos de dados, e produz as estimativas mais precisas.
Método de estimativa de mínimos quadrados (LSE)
As estimativas de mínimos quadrados são calculadas ajustando-se uma linha de regressão aos pontos de um conjunto de dados com a soma mínima dos desvios padrão elevados ao quadrado (erro mínimo quadrado). Em análises de confiabilidade, a linha e os dados são representados graficamente em um gráfico de probabilidade.

Porque o MLE é o método padrão no Minitab?

Para conjuntos de dados grandes e completos, tanto o método LSE quanto o método MLE fornecem resultados consistentes. Em aplicações de confiabilidade, os conjuntos de dados são tipicamente de tamanho pequeno ou moderado. Estudos extensivos de simulação mostram que, em desenhos de amostras pequenas onde há apenas algumas falhas, o método MLE é melhor que o método LSE.1 Assim, o método padrão de estimação no Minitab é o MLE.

As vantagens do método MLE em relação ao método LSE são as seguintes:
  • As estimativas dos parâmetros de distribuição são mais precisas.
  • A variância estimada é menor.
  • Os intervalos de confiança e testes de parâmetros do modelo podem ser calculados de forma confiável.
  • Os cálculos usam mais informações dos dados.

    Quando há apenas algumas falhas devido aos dados estarem pesadamente censurados, o método MLE usa as informações no conjunto de dados inteiro, incluindo os valores censurados. O método da LSE ignora as informações nas observações censuradas.1

Normalmente, as vantagens do método MLE prevalecem sobre as vantagens do método LSE. O método LSE é mais fácil de calcular manualmente e mais fácil de programar. O método LSE também é tradicionalmente associado ao uso de gráficos de probabilidade para avaliar a qualidade do ajuste. Contudo, o método LSE pode fornecer resultados enganosos em um gráfico de probabilidade. Existem exemplos em que os pontos em um gráfico de probabilidade de Weibull que usa o método LSE se encaixam em uma linha quando o modelo de Weibull é realmente inadequado.1

1. Genschel, U. e Meeker, W.Q. (2010). A Comparison of Maximum Likelihood and Median-Rank Regression for Weibull Estimation. Quality Engineering, 22(4): 236–255.

Por que os intervalos de confiança e os testes de parâmetros do modelo não estão disponíveis com o método LSE?

Em versões anteriores, o Minitab forneceu resultados calculados para erros padrão, intervalos de confiança e testes para os parâmetros do modelo ao usar o método LSE. Estes resultados calculados foram baseados em um método ad-hoc. No entanto, não existe um método estatístico estabelecido e aceito para calcular os erros padrão para os parâmetros do modelo com o método LSE. Portanto, se você alterar o método padrão da estimativa e selecionar Mínimos quadrados (tempo de falha(X) no posto(Y)), sua saída não incluirá resultados calculados para erros padrão, intervalos de confiança e testes para os parâmetros do modelo. Se você quiser incluir intervalos de confiança e testes de parâmetros do modelo em seus resultados, deve usar o método MLE (padrão).

Mudar o método de estimativa

Para mudar o método de estimativa de parâmetros de MLE para LSE ao usar uma análise de distribuição paramétrica, um gráfico de ID de distribuição ou um gráfico de visão geral de distribuição, faça o seguinte:

  1. Escolha Estat > Confiabilidade/sobrevivência > Análise de distribuição.
  2. Escolha uma das seguintes análises e selecione o botão apropriado:
    Análise Botão
    Análise de distribuição paramétrica Ajuste de distribuição
    Gráfico de identificação de distribuição Ajuste de distribuição
    Gráfico da visão geral de distribuição Opções
  3. Escolha Mínimos Quadrados (tempo de falha (X) no posto (Y)).

    Se você usa o método de estimativa de mínimos quadrados, as estimativas são calculadas ajustando-se uma linha de regressão aos pontos em um gráfico de probabilidade. A linha é formada pela regressão do tempo até a falha ou logaritarítmica (tempo até a falha) (X) na porcentagem transformada (Y).

Como os percentis da distribuição são baseados nos parâmetros estimados da distribuição, diferenças nos parâmetros estimados causarão diferenças nos percentis estimados.

Especifique parâmetros para uma análise de distribuição paramétrica em vez de deixar que o Minitab faça as estimativas dos parâmetros

Em vez de fazer o Minitab estimar os parâmetros, você pode especificar alguns parâmetros ou todos eles. Se você optar por especificar os parâmetros, os resultados calculados, como os percentis, são baseados nos valores dos parâmetros inseridos para análise.

Especifique alguns parâmetros e estime outros

Você pode especificar alguns parâmetros para a distribuição e fazer com que o Minitab estime os outros usando os dados. Normalmente você estima alguns parâmetros para efetuar uma Análise de Bayes quando os dados apresentam poucas falhas ou nenhuma falha. Veja Como realizar uma análise de confiabilidade com poucas ou nenhuma falha para mais detalhes.

  1. Escolha Estat > Confiabilidade/sobrevivência > Análise de distribuição > Análise de distribuição paramétrica.
  2. Selecione Ajuste de distribuição.
  3. Insira os parâmetros que você deseja especificar para sua distribuição. Os parâmetros a serem especificados dependem da distribuição escolhida:
    Distribuição Parâmetros que você pode especificar
    Weibull Forma
    Weibull de 3 parâmetros Forma, limite ou ambos
    Exponencial Nenhum
    Exponencial de 2 parâmetros Limite
    Outras distribuições sem um limite Escala
    Outras distribuições com limite Escala, limite ou ambos

    Você sempre estima o parâmetro de escala para a distribuição Weibull. Para distribuições que têm um parâmetro de localização, você sempre estima o parâmetro de localização.

Especificar todos os parâmetros

Para especificar todos os parâmetros, em vez de estimá-los a partir dos dados, especifique parâmetros históricos. Você pode especificar parâmetros históricos para fazer coisas como segue.
  • Compare as estimativas que você baseou em parâmetros históricos com as estimativas baseadas nos dados atuais.
  • Veja como os dados atuais se ajustam a um gráfico de probabilidade baseado nos parâmetros históricos.
  1. Na planilha, insira estimativas de parâmetros para a distribuição em uma única coluna. Você pode inserir mais de uma coluna de estimativas de parâmetros se tiver mais de uma variável para analisar. Para as diferentes distribuições, insira as estimativas de parâmetros na coluna na ordem indicada pela tabela.
    Distribuição Parâmetros
    Weibull Digite a forma e a escala
    Exponencial Digite a média
    Outras distribuições com 2 parâmetros Digite o local e a escala
    Exponencial de 2 parâmetros Digite a escala e o limite
    Weibull de 3 parâmetros Digite a forma, a escala e o limite
    Outras distribuições com 3 parâmetros Digite o local, a escala e o limite
  2. Escolha Estat > Confiabilidade/sobrevivência > Análise de distribuição > Análise de distribuição paramétrica.
  3. Selecione Ajuste de distribuição.
  4. De Parâmetros de distribuição, selecione Usar estimativas históricas
  5. Em Estimativas históricas, insira a coluna dos parâmetros estimados. Se você tiver mais de uma amostra, insira uma coluna para cada amostra.

Assuma parâmetros de forma ou escala comuns para análise de distribuição paramétrica

Quando você realiza análise de distribuição paramétrica para múltiplas amostras, pode fazer com que a análise assuma parâmetros comuns de forma ou escala para as estimativas.

  1. Escolha Estat > Confiabilidade/sobrevivência > Análise de distribuição > Análise de distribuição paramétrica.
  2. Selecione Ajuste de distribuição.
  3. De Parâmetros de distribuição, selecione a opção apropriada para suas distribuições. Por exemplo, se a análise assume que as amostras seguem uma distribuição de Weibull, então selecione Estimativa a partir dos dados assumindo parâmetros de forma iguais.

    O Minitab assume parâmetros de forma ou escala comuns ao calcular as estimativas. Por exemplo, suponha que você tenha 3 amostras independentes, normalmente distribuídas, com médias diferentes, mas a mesma variância. Para estimar a média de cada amostra, o Minitab utiliza uma estimativa agrupada da variância. Esta abordagem é generalizada para outras distribuições também. O resultado específico, entretanto, depende do método de estimativa selecionado para a análise.

Método MLE com parâmetros comuns de forma ou escala

Para o método de máxima verossimilhança, o Minitab usa a função de log-verossimilhança. Neste caso, a função de log-verossimilhança do modelo é a soma das funções de log-verossimilhança individuais, com o mesmo parâmetro de forma assumido em cada função de log-verossimilhança individual. A função de log-verossimilhança geral resultante é maximizada para obter os parâmetros de escala associados com cada grupo e o parâmetro de forma comum. Para obter mais informações, consulte a seguinte referência: W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis, Chapter 12. John Wiley & Sons.

Método LSE com parâmetros comuns de forma ou escala

O Minitab primeiro calcula a coordenada y e a coordenada x para cada grupo (para obter mais detalhes, consulte os tópicos "Pontos de gráfico" e "Linha ajustada" em Métodos e fórmulas para o gráfico de probabilidades em Análise de distribuição paramétrica. Em seguida, para obter as estimativas de LSE, o Minitab executa as seguintes etapas:

  1. Combina os dados da coordenada de x.
  2. Combina os dados da coordenada de y.
  3. Utiliza uma variável indicadora (ou Por variável) para identificar os grupos.
  4. Faz a regressão das coordenadas de x (resposta) contra os preditores definidos por todas as coordenadas de y (preditor contínuo) e a variável indicadora (preditor categórico).
    Observação

    Para distribuições de log de escala-localização (por exemplo, Weibull), as coordenadas de x devem ser transformadas em log. Os grupos devem ter a mesma inclinação, que é o inverso do parâmetro de forma comum. O parâmetro de escala de cada grupo é obtido pela exponenciação do intercepto para cada grupo.
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