Métodos e fórmulas para Amostragem de aceitação para variáveis (criar/comparar)

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Tamanho amostral e distância crítica

O cálculo do tamanho amostral, n, da distância crítica, k, depende do número de limites de especificação dado e se o desvio padrão é conhecido.

Limite de especificação único e desvio padrão conhecido

O tamanho amostral é dado por:

A distância crítica é dada por:

onde:

Notação

TermoDescrição
Z1o (1 – p1) * 100 percentil da distribuição normal padrão
p1O nível de qualidade aceitável (NQA)
Z2o (1 – p2) * 100 percentil da distribuição normal padrão
p2O nível de qualidade rejeitável (NQR)
ZαO (1 – α) * 100 percentil da distribuição normal padrão
αo risco do consumidor
Zβo (1 – β ) * 100 percentil da distribuição normal padrão
βo risco do produtor

Limite de especificação único e desvio padrão desconhecido

A notação é igual à usada na seção para um único limite de especificação e um desvio padrão conhecido. O tamanho amostral é dado por:

A distância crítica é dada por:

Limites de especificação duplos e desvio padrão conhecido

A notação não definida abaixo é igual à usada para o caso de um limite de especificação único e um desvio padrão conhecido. Primeiramente, o Minitab calcula z:

Em seguida, o Minitab encontra p* a partir da distribuição normal padrão como a área da cauda superior correspondente a z. Esta é a probabilidade mínima dos defeituosos fora de um dos limites de especificação.

O método que o Minitab utiliza para o cálculo do tamanho amostral e da distância crítica depende deste valor de p*.

Seja p1 = NQA, p2 = NQR

  • Se 2p* ≤ (p1/ 2), as duas especificações estão relativamente distantes e os cálculos seguem os planos de limite único.
  • Se p1/ 2 < 2p* ≤ p1, as duas especificações não estão relativamente distantes, mas ainda não estão tão perto que a probabilidade mínima de defeituosos possa ser encontrada por certos valores médios. O Minitab executa uma iteração para encontrar o Tamanho amostral e distância crítica.

Permita que

μ = μ0+ m * h, onde h = σ/100

Seja m = 1, 2, ...300. Para cada μ calcule:

onde Φ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Se Prob (X<L) + Prob (X>U) estiver extremamente perto de p1, o Minitab utiliza o maior valor entre Prob (X <L) e Prob (X> U) para encontrar o tamanho amostral e o número aceito.

Suponha que Prob (X<L) seja o maior valor, seja pL = Prob (X<L).

O tamanho amostral é dado por:

A distância crítica é dada por:

onde:

ZpL = the (1 – pL) * 100 percentil da distribuição normal padrão.

Se já usamos todos os valores de m, mas as probabilidades correspondentes não contêm p1, então, p1 é grande demais, o que significa que a média das medições está longe do ponto médio do intervalo [L, U]. Neste caso, podemos usar um método para um limite de especificação único e ZpL = Z1. Z1 tem a definição igual à usada no caso de limite de especificação único.

  • Se p1 < 2p* < p2, as especificações do plano devem ser reconsideradas porque a probabilidade mínima de defeitos determinada pelos dois limites de especificação e os desvios padrão é maior do que o nível de qualidade p1 aceitável. Você pode rejeitar o lote ou considerar um plano com uma probabilidade de defeitos um pouco maior do que p1.
  • Se 2p* ≥ p2, o lote deve ser rejeitado; a probabilidade mínima de defeituosos determinada pelos dois limites de especificação e o desvio padrão é maior do que o nível de qualidade rejeitável. Você pode rejeitar o lote sem testar todos os produtos.

Notação

TermoDescrição
Lo limite inferior de especificação
Uo limite superior de especificação
σo desvio padrão conhecido

Limites de especificação duplos e desvio padrão desconhecido

A notação é igual à usada nas seções anteriores. O Minitab permite que a distância crítica seja o valor determinado como no caso de dois planos de limite único separados:
O tamanho amostral é dado por:
Se n > 2, o Minitab calcula o DPM com as etapas a seguir1.
  1. Seja
  2. Então,
    em que Beta é a função de distribuição acumulada de uma distribuição beta com parâmetros de forma a e b. Aqui, .
  3. Definir
  4. Então,
    em que Beta-1 é a função de distribuição acumulada inversa da distribuição beta na etapa 2.

Se n ≤ 2, o desvio padrão máximo (DPM) não pode ser calculado.

Probabilidade de aceitação 

Seja p a probabilidade de defeitos que é o valor de x de um ponto em uma curva OC.

Limite de especificação único e desvio padrão conhecido

Limite de especificação inferior único e desvio padrão conhecido
Prob (X < L) = p.
Limite de especificação superior único e desvio padrão conhecido
Prob (X > L) = p.

Limite de especificação único e desvio padrão desconhecido

Limites de especificação duplos e desvio padrão conhecido

Primeiramente, o Minitab calcula z

Em seguida, encontra p* a partir da distribuição normal padrão como a área da cauda superior correspondente a z. Esta é a probabilidade mínima dos defeituosos fora de um dos limites de especificação.

O método que o Minitab utiliza para a probabilidade de aceitação depende deste valor de p*.

Seja p1 = NQA, p2 = NQR

  • Se 2p* ≤ (p1/ 2), as duas especificações estão relativamente distantes e os cálculos para o tamanho amostral e a distância crítica seguem os planos de limite único.
  • Se p1/ 2 < 2p* ≤ p1, as duas especificações não estão relativamente distantes, mas ainda não estão tão perto que a probabilidade mínima de defeituosos possa ser encontrada por certos valores médios.

Para qualquer p dado, o Minitab encontra a média, μ, das medições usando um algoritmo de busca de grade. Então,

Limites de especificação duplos e desvio padrão desconhecido

Quando você tem ambos os limites de especificação inferior e superior, mas não conhece o desvio padrão, o Minitab usa a curva CO para o plano de limite único a fim de aproximar o caso limites de especificação duplos. A curva CO derivada de um plano de limite único com p1, p2, α e β especificados é o limite inferior da banda de curvas CO para um plano de especificação de bilateral com os mesmos p1, p2, α e β e para a maioria dos casos práticos pode ser tomada como a curva CO para o plano bilateral. Consulte Duncan1.

  1. Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5a edição.

Notação

TermoDescrição
ntamanho da amostra
kdistância crítica
σdesvio padrão conhecido
Zpo (1 - p)o percentil da distribuição normal padrão
Φfunção de distribuição acumulada da distribuição normal padrão
T

é o t não central distribuído com graus de liberdade = n – 1 e o parâmetro não central,

Llimite inferior de especificação
Ulimite superior de especificação

Probabilidade de rejeição

A probabilidade de rejeição (Pr) descreve a chance de rejeitar um determinado lote com base em um plano de amostragem específica e proporção de entrada com defeito. É simplesmente 1 menos a probabilidade de aceitação.

Pr = 1 – Pa

onde:

Pa = probabilidade de aceitação

Qualidade média à saída (AOQ)

A qualidade de saída média representa o nível de qualidade do produto após a inspeção. A qualidade de saída média varia conforme varia a fração de entrada de defeituosos.

Notação

TermoDescrição
Paprobabilidade de aceitação 
pfração de defeituosos de entrada
Ntamanho do lote
ntamanho amostral

Inspeção total média (ITM)

A inspeção total média representa o número médio de unidades em um lote de 5.000, que serão inspecionadas em relação a um nível de qualidade de entrada e probabilidade de aceitação específicos.

Notação

TermoDescrição
Paprobabilidade de aceitação 
Ntamanho do lote
ntamanho amostral

Região de aceitação (RA)

A região de aceitação é calculada apenas quando ambas as especificações são dadas e o desvio padrão é desconhecido. Vá para a seção em tamanho amostral e distância crítica para n e k, respectivamente, e verifique a notação para as equações..

No gráfico de região de aceitação, o eixo x é a média da amostra e o eixo y é o desvio padrão da amostra. A região de aceitação é formada por 3 funções do desvio padrão da amostra e a média da amostra, além do Desvio Padrão Máximo (DPM). Para todos os valores da amostra em que os valores do desvio padrão da amostra excedem o DPM, o limite superior da região de aceitação é o DPM.

Para casos que estão próximos dos limites de especificações superiores ou inferiores, a região de aceitação é delimitada por estas duas funções:

À medida que os valores da média amostral se aproximam do meio dos limites da especificação, as coordenadas do limite superior da região de aceitação são calculadas com as seguintes etapas:
  1. Seja .
  2. Então em que Beta é a função de distribuição acumulada de uma distribuição beta com parâmetros de forma a e b. Aqui, ..
  3. Definem pares de proporções p01 e p02, que satisfazem p02 + p01 = p*
  4. Próximo,
    em que Beta-1 é a função de distribuição acumulada inversa da distribuição beta na etapa 2.
  5. Para , a média e as coordenadas de desvio padrão são as equações a seguir:
1 Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics (5ª ed.). Homewood, Ill: Irwin.
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