Métodos e fórmulas para Teste de Friedman

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S

A estatística de teste tem uma distribuição de qui-quadrado ( χ2) aproximada, com graus de liberdade associados (k – 1). Se os dados dentro de um ou mais blocos tiverem empates, o Minitab usa a classificação média e imprime um teste estatístico que foi corrigido para empates. Para obter mais informações sobre este método, consulte M. Hollander e D.A. Wolfe (1973)1.

Fórmula

Para calcular a estatística de teste de qui-quadrado, o Minitab classifica os dados separadamente dentro de cada bloco e soma as classificações para cada tratamento.

Se os dados não têm empates, a fórmula é:

Se os dados têm empates:

em que C é um fator de correção que é igual a:

Notação

TermoDescrição
j1, 2, ..., k
ko número de condições de tratamento
no número de blocos
Rja soma das classificações para o tratamento j
ii1, 2, ..., m
mo número de conjuntos de empates
tiO número de pontuações empatadas no ioconjunto de empates
  1. M. Hollander e D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc.

Mediana global

Para entender como calcular os efeitos do tratamento, as medianas de bloco, e a mediana global, considere os dados a seguir.

  Bloco
Tratamento 1 2 3 4
1 0,15 0,26 0,23 0,99
2 0,55 0,26 −0,22 0,99
3 0,55 0,66 0,77 0,99

Para calcular os efeitos (pelo método de Doksum1), primeiramente, encontre a diferença média entre os pares de tratamentos. As diferenças pareadas para o tratamento 1 menos o tratamento 2 são 0,15 - 0,55 = - 0,4, 0,26 -0,26 = 0, 0,23 - (-0,22) = 0,45, e 0,99 - 0,99 = 0. A mediana das diferenças é 0. Executar este cálculo para os outros dois pares resulta -0,4 para o tratamento 1 menos o tratamento 3, e -0,2 para o tratamento 2 menos o tratamento 3.

O efeito de cada tratamento é a média das diferenças medianas daquele tratamento com todos os outros tratamentos (incluindo ele próprio). Para os dados apresentados neste exemplo, efeito (2) = [mediana (2 - 1) + mediana (2 - 2) + mediana (2 - 3)] / 3 = (0,00 + 0,00 - 0,20) / 3 = -0,0667. Da mesma forma, o efeito de (1) = -0,1333 e de efeito (3) = 0,20.

Para calcular as medianas de bloco ajustadas, ajuste cada observação subtraindo o efeito do tratamento apropriado da observação. As medianas de bloco ajustadas são simplesmente as medianas desses dados ajustadas e calculadas dentro de cada bloco. A mediana global é a mediana das medianas de bloco ajustadas. A mediana estimada para cada nível de tratamento é o efeito do tratamento somada à mediana global.

  1. M. Hollander and D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc., pp. 158 – 161.

Classificação de valores empatados

Valores empatados ocorrem quando duas ou mais observações são iguais. Se os seus dados têm valores empatados, o Minitab classifica os dados da seguinte forma:
  1. Organiza as observações em ordem crescente.
  2. Atribui classificações a cada observação como se não houvesse nenhum vínculo.
  3. Para um conjunto empatado, pegue a média das classificações correspondentes e atribua esse valor como a novo classificação para cada valor empatado nesse conjunto.

Exemplo

Uma amostra tem 9 observações: 2,4, 5,3, 2,4, 4,0, 1,2, 3,6, 4,0, 4,3 e 4,0

Observação Classificação (assumindo que não há empate) Atribuir postos
1,2 1 1
2,4 2 2,5
2,4 3 2,5
3,6 4 4
4,0 5 6
4,0 6 6
4,0 7 6
4,3 8 8
5,3 9 9

As informações a seguir também são usada no cálculo das estatísticas de teste:
  • O número de conjuntos de empates = 2
  • O número de valores empatados no primeiro conjunto = 2
  • O número de valores empatados no segundo conjunto = 3
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