Métodos e fórmulas para Teste para 2 variâncias

Selecione o método ou a fórmula de sua escolha.

Estatística das amostras

O Minitab calcula a média, o desvio padrão e a variância de ambas as amostras.

Fórmula

O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.

Notação

TermoDescrição
média da amostra i
S2i variância da amostra i
Xij jq medição da ia amostra
ni tamanho amostral i

Teste para o método de Bonett com experimentos balanceados

Fórmula para a estatística de teste

Quando n1 = n2 , o teste estatístico é Z2. Se a hipótese nula, ρ = ρ0 for verdadeira, então Z2 é distribuído como uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Z2 é dado por:

onde se(ρ0) é o erro padrão da curtose combinada que é dado por:

onde ri = ( ni - 3) / ni e é a curtose combinada que é dada por:

se20) também pode ser expressa em termos de valores de curtose das amostras individuais, , como segue:

em que:

Fórmula para o valor de p

Permita que z2 seja o valor de Z2 que é obtido a partir dos dados. Sob a hipótese nula, H0: ρ = ρ0 , Z é distribuído como a distribuição normal padrão. Portanto, os valores de p para as hipóteses alternativas (H1) são dados da seguinte maneira.

Hipótese Valor p
H1: ρ0 ≠ ρ0 P = 2P(Z > |z|)
H1: ρ0 > ρ0 P = P(Z > z)
H1: ρ0 < ρ0 P = P(Z < z)

Notação

TermoDescrição
Sio desvio padrão da amostra i
ρa razão dos desvios padrão da população
ρ0a razão hipotética dos desvios padrão da população
αo nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
ninúmero de observações na amostra i
o valor de curtose para a amostra i
Xija ja observação na amostra i
mia média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Teste para o método de Bonett com experimentos não balanceados

Fórmula

Quando n1n2 , não existe nenhum teste estatístico. Em vez disso, o valor de p é calculado invertendo o procedimento do intervalo de confiança. O valor de p para o teste é dado por:

P = 2 mín (αL, αU)

em que αL é o menor valor de α para o qual mantém o seguinte:
e αU é o menor valor de α para o qual mantém o seguinte:

em que cα é um equalizador constante descrito abaixo e se(ρ0) é o erro padrão da curtose combinada, que é dada por:

em que ri = (ni - 3) / ni e é a curtose combinada que é dada por:

se(ρ0) também pode ser expressa em termos de valores de curtose os das amostras individuais. Para obter mais informações, vá para o teste para o método de Bonett com experimentos balanceados.

Constante equalizadora

A constante cα está incluída como um ajuste de pequenas amostras para mitigar o efeito de probabilidades de erro de caudas desiguais em experimentos não balanceados. O valor de cα é dado por:

A constante desaparece quando os projetos são balanceados e seu efeito torna-se desprezível com o aumento do tamanho das amostras.

Encontrar αL e αU

Encontrar αL e αU é equivalente a encontrar as raízes das funções L(z , n1 , n2 , S1 , S2 ) e L(z , n2 , n1 , S2 , S1 ), em que L(z , n1 , n2 , S1 , S2) é dado por:

Permita que:
Para n1 < n2, faça o seguinte:
  • Calcule zm e avalie L(z, n1, n2, S1, S2).
    • Se L(zm) 0, e encontre a raiz zL, de L(z, n1, n2, S1, S2) no intervalo e calcule αL = P( Z > zL).
    • Se L(zm) > 0, calcule a função L(z , n1, n2, S1, S2) não tem raiz, e αL = 0.
Para n1 > n2, faça o seguinte:
  • Calcule L(0, n1, n2, S1, S2) = ln (S12 / S22).
    • Se L(0, n1, n2, S1, S2) 0, e encontre a raiz z0, de L(z, n1, n2, S1, S2) no intervalo [0, n2).
    • Se L(0, n1, n2, S1, S2) < 0, encontre a raiz zL no intervalo .
  • Calcule αL = P( Z > zL).

Para calcular αU, aplique as etapas anteriores usando a função, L(z, n2, n1, S2, S1), em vez da função, L(z, n1, n2, S1, S2).

Notação

TermoDescrição
Sio desvio padrão da amostra i
ρa razão dos desvios padrão da população
ρ0a razão hipotética dos desvios padrão da população
αo nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
zαo ponto percentil superior α da distribuição normal padrão
ninúmero de observações na amostra i
Xija ja observação na amostra i
mia média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Intervalo de confiança para o método de Bonett

Fórmula

Os intervalos de confiança são obtidos invertendo-se o procedimento de teste. Mais especificamente, o Minitab resolve a seguinte equação para ρ:

em que cα/2 é uma constante equalizadora (descrita abaixo) e se(ρ) é o erro padrão da curtose combinada (descrita abaixo). Tipicamente, esta equação tem duas soluções, uma solução L < S1 / S2 , e uma solução U > S1 / S2. L é o intervalo de confiança inferior e U é o limite de confiança superior. Para obter mais informações, acesse Método de Bonnet, que é um white paper que tem simulações e outras informações sobre o Método de Bonett.

Os limites de confiança para a razão das variâncias são obtidos através da quadratura dos limites de confiança para a razão dos desvios padrão.

Constante equalizadora

A constante cα está incluída como um ajuste de pequenas amostras para mitigar o efeito de probabilidades de erro de caudas desiguais em experimentos não balanceados. O valor de cα é dado por:

A constante desaparece quando os projetos são balanceados e seu efeito torna-se desprezível com o aumento do tamanho das amostras.

Erro padrão da curtose combinada

se(ρ) é o erro padrão da curtose combinada que é dado por:

em que ri = (ni - 3) / ni e é a curtose combinada que é dada por:

se(ρ) também pode ser expressa em termos de valores de curtose os das amostras individuais. Para obter mais informações, consulte a seção sobre o teste para o método de Bonett com experimentos balanceados.

Notação

TermoDescrição
αo nível de significância para o teste = 1 - (o nível de confiança / 100)
Sio desvio padrão da amostra i
ρa razão dos desvios padrão da população
zα/2o ponto percentil superior α/2 da distribuição normal padrão
ninúmero de observações na amostra i
Xija ja observação na amostra i
mia média aparada para a amostra i com a proporção de corte de

Teste para o método de Levene

Fórmula

O teste de Levene é apropriado para dados contínuos. O teste de Levene não está disponível para dados resumidos.

Para testar a hipótese nula de que σ1 / σ2 = ρ com o teste de Levene, o Minitab executa uma ANOVA com um fator sobre os valores Z1j e ρZ2j (em que j = 1, …, n1 ou n2).

O teste estatístico de Levene é igual ao valor da estatística F na tabela ANOVA resultante. O valor de p do teste de Levene é igual ao valor de p nesta tabela ANOVA.

  • H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
  • M.B. Brown and A.B. Forsythe (1974). "Robust Tests for the Equality of Variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Graus de liberdade

Sob a hipótese nula, a estatística de teste segue uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.

DF1 = 1

DF2 = n1 + n2 – 2

Notação

TermoDescrição
Zij|Xi j η i|
TermoDescrição
j1, 2, …, ni
ii1, 2
Xijobservações individuais
ηimediana da amostra i
σ1desvio padrão da primeira população
σ2desvio padrão da segunda população
n1tamanho da primeira amostra
n2tamanho da segunda amostra

Intervalos de confiança para o método de Levene

Fórmula

Para dados contínuos, o Minitab calcula os limites de confiança para a razão (ρ) entre os desvios padrão da população com as fórmulas a seguir. Para obter limites para a razão entre as variâncias da população, apresentamos o quadrado dos valores abaixo.

Quando você especifica uma hipótese alternativa de Razão ≠ razão hipotética, um intervalo de confiança de 100(1–α)% para ρ é dado por:
  • Se , limite inferior =

    Se , um limite inferior não existe

  • Se , limite superior =

    Se , um limite superior não existe

Quando você especifica uma hipótese alternativa de Razão < razão hipotética, um limite de confiança superior de 100(1 – α)% para ρ é dado por:
  • Se , então

  • Se , um limite superior não existe
Quando você especifica uma hipótese alternativa de Razão > razão hipotética, um limite de confiança superior de 100(1 – α)% para ρ é dado por:
  • Se , então

  • Se , um limite inferior não existe

Notação

TermoDescrição
ηia mediana da amostra i
Zijem que j = 1, 2, ... , ni e i = 1, 2 e Xij são observações individuais
Mia média de Zij
Si2a variância da amostra de Zij
vi
ρσ1 / σ2
n1o tamanho da primeira amostra
n2o tamanho da segunda amostra

Teste para o método do teste F

O teste F é adequado para dados normais. Para testar a hipótese nula de que σ1 / σ2 = ρ com o teste F, o Minitab utiliza as fórmulas a seguir.

Fórmula para a estatística de teste

Fórmula para os graus de liberdade

Sob a hipótese nula, a estatística F segue uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.

DF1 = n1 – 1

DF2 = n2 – 1

Fórmula para o valor de p

O cálculo do valor de p depende da hipótese alternativa como se segue.
  • Para um teste unilateral com uma hipótese alternativa de "menor que", o valor de p é igual à probabilidade de se obter uma estatística F que seja igual ou menor do que o valor observado a partir de uma distribuição-F com graus de liberdade DF1 e DF2.
  • Para um teste bilateral em que a razão é menor que 1, o valor de p é igual a duas vezes a área sob a curva F menor que o valor observado a partir de uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.
  • Para um teste bilateral em que a razão é maior que 1, o valor de p é igual a duas vezes a área sob a curva F maior que o valor observado a partir de uma distribuição F com graus de liberdade DF1 e DF2.
  • Para um teste unilateral com uma hipótese alternativa de "maior que", o valor de p é igual à probabilidade de se obter uma estatística F que seja igual ou maior do que o valor observado a partir de uma distribuição-F com graus de liberdade DF1 e DF2.

Notação

TermoDescrição
ρσ1 / σ2
σ1desvio padrão da primeira população
σ2desvio padrão da segunda população
S21 variância da primeira amostra
S22 variância da segunda amostra
n1tamanho da primeira amostra
n2tamanho da segunda amostra

Intervalos de confiança para o método do teste F

Quando os dados seguem uma distribuição normal, o Minitab calcula os limites de confiança para a proporção (ρ) entre os desvios padrão da população com as seguintes fórmulas. Para obter limites para a razão entre as variâncias da população, apresentamos o quadrado dos valores abaixo.

Fórmula

Quando você especifica uma hipótese alternativa "não igual", um intervalo de confiança de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Quando você especifica uma hipótese alternativa "menor que", um limite de confiança superior de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Quando você especifica uma hipótese alternativa "maior que", um limite de confiança de 100(1 – α)% para ρ é dado por:

Notação

TermoDescrição
S1desvio padrão da primeira amostra
S2desvio padrão da segunda amostra
ρσ1 / σ2
n1tamanho da primeira amostra
n2tamanho da segunda amostra
F(α/2, n2–1, n1–1)α/2 valor crítico da distribuição F com graus de liberdade n2–1 e n1–1.
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