Métodos e fórmulas para Comparações for general modelos lineares

Selecione o método ou a fórmula de sua escolha.

Tabela de informações de agrupamento para comparações pareadas

O Minitab utiliza os resultados do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias de nível para obter as informações de agrupamento. As informações de agrupamento estão em uma matriz. Suponha que um termo tem k níveis, então, a dimensão máxima da matriz é o k x k. Se todos os níveis estiverem em um grupo, a dimensão é k x 1, com a letra "A" para todos os níveis de fator. Se todos os níveis estiverem em grupos diferentes, a dimensão é k x k com letras somente na diagonal.

O Minitab usa este algoritmo para determinar o conteúdo da matriz:
  1. Ordene todas as médias dos quadrados mínimos em diferentes níveis de um termo em ordem decrescente, denotado como 1, 2, ... , k.
  2. Defina uma matriz k x k com o valor 0 em todas as células, onde k = número de níveis de fator.
  3. Para a coluna j, onde j = 1, ... , o Minitab faz o seguinte:
    1. Verifica os intervalos de confiança da média j - média r, onde r = j + 1, .. , k. Se o intervalo de r contiver 0, defina a ra linha e a ja célula de coluna, j) como 1.
    2. Configura a célula (j, j) como 1 se pelo menos uma célula na coluna j tiver valor 1.
    3. Calcula as somas das linhas da coluna 1 para a coluna j para a linha I = j + 1, ... , k. Se min (todas as somas de linha) >= 1, encerra o loop; senão, incrementa j em 1 e vai para o passo a.
  4. Para toda a linha i, o Minitab verifica a soma de todos os valores da coluna para a linha ≥ 1. Se a soma for zero, defina a célula da linha i e coluna j = 1, onde a coluna j é a primeira coluna na matriz com valores 0. Este processo produz uma matriz com os valores 1 e 0. O número total de grupos é o número de colunas diferentes de zero.
  5. Minitab corresponde as letras às colunas (por exemplo, A para Coluna 1, B para Coluna 2, etc.) e atribui as células com valor 1 à letra correta.

Tabela de informações de agrupamento para comparações múltiplas com um controle

O Minitab utiliza os resultados intervalo de confiança para a diferença entre cada média de nível e o nível de controle para obter as informações de agrupamento. As informações de agrupamento são em uma matriz com uma coluna.

O Minitab atribui a letra "A" para o nível de controle.

Se um intervalo contiver 0, então a média de nível está no mesmo grupo que o nível de controle. O Minitab atribui a letra "A" para a média de nível.

Se um intervalo não contiver 0, nenhuma letra é atribuída.

Método de Tukey

Fórmula

O método de Dunnett para comparações está disponível com um controle. A fórmula para intervalos de confiança é:

A fórmula para a estatística de teste é:

O valor-p ajustado tem a seguinte expressão:

Para obter mais detalhes sobre o cálculo do valor-p ajustado, consulte as referências abaixo.

Para determinar a taxa de erro individual a partir da taxa de erro simultânea, utilize a seguinte fórmula:

Notação

TermoDescrição
as médias dos mínimos quadrados para o io nível de fator ou combinação de nível de fator
as médias dos mínimos quadrados para o jo nível de fator ou combinação de nível de fator
ro número de médias
Q1 − α, r, uO 1 − α percentil da distribuição da faixa estudentizada para médias r, para comparar com u graus de liberdade
uos graus de liberdade para erro a partir do modelo
SEEo erro padrão da diferença estimativa entre as médias dos mínimos quadrados
αa probabilidade simultânea de cometer um erro de Tipo I, baseado na distribuição da faixa estudentizada
α*a probabilidade individual de cometer um erro Tipo I, baseado na distribuição de t para uma comparação

Referências

1 Braun, H. I., editor (1994). The collected works of John W. Tukey: Volume VIII Multiple comparisons 1948-1983. New York: Chapman and Hall.

2 J.C. Hsu (1996). Multiple Comparisons: Theory and methods. Chapman & Hall.

Método Fisher

Fórmula

O Minitab oferece diferentes métodos de intervalo de confiança para comparar as médias dos tratamentos. Para o método de Fisher, os pontos de extremidade do intervalo de confiança e valores-p são os mesmos se as comparações forem pareadas ou com um controle. O método de Fisher usa o nível de confiança individual. A fórmula para intervalos de confiança é:

A fórmula para a estatística de teste é:

O valor p = 2*P{ T u > tu}

Para determinar o nível de confiança simultâneo partir da taxa de erro individual, utilize a seguinte fórmula:

Notação

TermoDescrição
as médias dos mínimos quadrados para o io nível de fator ou combinação de nível de fator
as médias dos mínimos quadrados para o jo nível de fator ou combinação de nível de fator
t1-α*/2, uO percentil superior α' /2 da distribuição t de Student com u graus de liberdade
TuUma variável aleatória da distribuição t que tem u graus de liberdade para erro
Quma variável aleatória com a distribuição da taxa de estudentizados
αa probabilidade simultânea de cometer um erro de Tipo I
α*a probabilidade individual de cometer um erro Tipo I
uos graus de liberdade para erro a partir do modelo
SEEo erro padrão da diferença estimativa entre as médias dos mínimos quadrados

Método Bonferroni

Fórmula

O Minitab oferece diferentes métodos de intervalo de confiança para comparar as médias dos tratamentos. Como o método de Bonferroni não faz suposições sobre a dependência entre as comparações, é o método mais conservador. "Conservador", neste contexto, indica que o verdadeiro nível de confiança provavelmente é maior do que o nível de confiança que está sendo exibido. A fórmula para intervalos de confiança é:

A fórmula para a estatística de teste é:

Notação

TermoDescrição
as médias dos mínimos quadrados para o io nível de fator ou combinação de nível de fator
as médias dos mínimos quadrados para o jo nível de fator ou combinação de nível de fator
t1-α*/2, uO percentil superior α' /2 da distribuição t de Student com u graus de liberdade
αa probabilidade simultânea de cometer um erro de Tipo I
α'α / c
co número de comparações
uos graus de liberdade para erro a partir do modelo
SEEo erro padrão da diferença estimativa entre as médias dos mínimos quadrados

O número de comparações depende se as comparações são pareadas ou com um controle. Seja k o número de médias que estão sendo comparadas. Os números de comparações estão na tabela abaixo.

Pareadas k (k – 1) / 2
Com um controle k – 1

Método Sidak

Fórmula

O Minitab oferece diferentes métodos de intervalo de confiança para comparar as médias dos tratamentos. O método de Sidak trata as comparações como se fossem independente, o que produz uma aproximação conservadora da taxa de erro verdadeiro. O método de Sidak é um pouco mais poderoso do que o método de Bonferroni.

A fórmula para intervalos de confiança é:

A fórmula para a estatística de teste é:

O valor-p ajustado = 1 − (1 − p)c.

Notação

TermoDescrição
as médias dos mínimos quadrados para o io nível de fator ou combinação de nível de fator
as médias dos mínimos quadrados para o jo nível de fator ou combinação de nível de fator
t1-α*/2, uO percentil superior α' /2 da distribuição t de Student com u graus de liberdade
αa probabilidade simultânea de cometer um erro de Tipo I
α'1 – (1 – α ) 1/ k
uos graus de liberdade para erro a partir do modelo
SEEo erro padrão da diferença estimativa entre as médias dos mínimos quadrados
pO valor-p não ajustado a partir da distribuição t para uma comparação
co número de comparações

O número de comparações depende se as comparações são pareadas ou com um controle. Seja k o número de combinações de fatores. Os números de comparações estão na tabela abaixo.

Pareadas k (k – 1) / 2
Com um controle k – 1

Método de Dunnett

Fórmula

O Minitab oferece diferentes métodos de intervalo de confiança para comparar as médias dos tratamentos. O método de Dunnett para comparações está disponível com um controle. A fórmula para os intervalos de confiança é:

A fórmula para a estatística de teste é:

O valor-p ajustado é o resultado da integração da distribuição que Dunnett propõe para a estatística de teste. Para obter mais detalhes, consulte as referências abaixo.

Notação

TermoDescrição
as médias dos mínimos quadrados para o io nível de fator ou combinação de nível de fator
as médias dos mínimos quadrados para o jo nível de fator ou combinação de nível de fator
D1-α, k-1, uO percentil superior de α da distribuição que Dunnett propõe com comparações k − 1 e u de graus de liberdade
αa probabilidade simultânea de cometer um erro de Tipo I
ko número de médias para comparar
uos graus de liberdade para erro a partir do modelo
SEEo erro padrão da diferença estimativa entre as médias dos mínimos quadrados

Referências

1 Dunnett, C. W. (January 01, 1955). A multiple comparison procedure for comparing several treatments with a control. Journal of the American Statistical Association, 50, 1096-1121.

2 J.C. Hsu (1996). Multiple Comparisons: Theory and methods. Chapman & Hall.

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