Métodos e fórmulas para o gráfico de probabilidades em Gráfico de identificação de distribuição (censura arbitrária)

Gráfico de probabilidade

Um gráfico de probabilidade inclui o seguinte:
  • Os pontos do gráfico, que são os percentis estimados para corresponder às probabilidade de um conjunto de dados ordenado.
  • A linha ajustada, que é o percentil esperado a partir da distribuição com base em estimativas de parâmetros de máxima verossimilhança.
  • Os intervalos de confiança, que são os intervalos de confiança para os percentis.

Como os pontos do gráfico não dependem de qualquer distribuição, eles seriam os mesmos (antes da transformação) para qualquer gráfico de probabilidade criado. No entanto, a linha ajustada é diferente, dependendo da distribuição paramétrica escolhida. Assim, você pode usar o gráfico de probabilidade para determinar se uma distribuição específica se ajusta aos seus dados. Em geral, quanto mais próximos estiverem os pontos da linha ajustada, melhor o ajuste.

Pontos do gráfico

Os pontos no gráfico probabilidade representam a probabilidade de um produto falhar antes do tempo, t. Para os dados com censura à direita ou sem censura, o Minitab calcula os pontos no gráfico usando os seguintes métodos:
  • Método do Rank Mediano (padrão)
  • Método modificado de Kaplan-Meier
  • Método de Herd-Johnson
  • Método de Kaplan-Meier

Se os dados contiverem tempos de falha empatados (tempos de falha idênticos), todos os pontos (padrão), a média (mediana) ou o máximo dos pontos empatados são representados graficamente. Se o empate envolve falhas e suspensões, a ocorrência de falhas é considerada antes das suspensões.

Cada um desses métodos gera estimativas não paramétricas de F(t), a função distribuição acumulada para a variável aleatória T, que é o tempo até a falha.

Para uma amostra de n observações, sejam x(1), x(2),...,x(n) as estatísticas de ordem, ou os dados ordenados do menor ao maior. Então i é o posto da I a observação ordenada x(I). A fórmula para cada método é como a seguir:

Rank Mediano (método de Benard)

Fórmula para dados sem censura

Fórmula para dados censurados

Modificado de Kaplan-Meier

Fórmula para dados sem censura

Fórmula para dados censurados

Estimativa de Herd-Johnson

Fórmula para dados sem censura

Fórmula para dados censurados

Estimativa de limite de produto de Kaplan-Meier

Observação

Se a maior observação é sem censura, o método de Kaplan-Meier resulta em p = 1 para a maior observação sem censura. Neste caso, a estimativa de Kaplan-Meier para a maior observação resulta em um número que não pode ser usado no gráfico. Este problema é corrigido pelo recálculo do maior p como 90% da distância entre o p anterior e 1.

Observação

Para dados com censura arbitrária, o Minitab estima as probabilidades acumuladas usando o método Turnbull1.

Fórmula para dados sem censura

Fórmula para dados censurados

Notação

TermoDescrição
iposto do ponto de dados, com empates dados em postos consecutivos
nnúmero de observações nos dados
δj 0 se a j a observação é censurada, ou 1 se a j a observação é sem censura
ARi
AR0 é igual a 0
p'i

Linha ajustada

A tabela a seguir mostra como as coordenadas x e y para a linha ajustada são construídas. Observe o seguinte:
  • O Minitab transforma o eixo-x para uma escala de log quando você está usando uma distribuição Weibull, Weibull de 3 parâmetros, exponencial, lognormal e loglogística.
  • Por padrão, o Minitab transforma o eixo-y para uma escala percentual. Se você alterar o tipo de escala-y para probabilidade, o Minitab transforma o eixo-y para uma escala de probabilidade.

Distribuição coordenada x coordenada y
Menor valor extremo tempo de falha ln(–ln(1 – p))
Weibull ln(tempo de falha) ln(–ln(1 – p))
Weibull com 3 parâmetros ln(tempo de falha – limite) ln(–ln(1 – p))
Exponencial ln(tempo de falha) ln(–ln(1 – p))
Exponencial com 2 parâmetros ln(tempo de falha – limite) ln(–ln(1 – p))
Normal tempo de falha Φ –1 (p)
Lognormal ln(tempo de falha) Φ –1 (p)
Lognormal para 3 parâmetros ln(tempo de falha – limite) Φ –1 (p)
Logística tempo de falha
Loglogística ln(tempo de falha)
Loglogística para 3 parâmetros ln(tempo de falha – limite)

Notação

TermoDescrição
Φ –1 fda inversa para a distribuição normal padrão
ln (x)log natural de x
1 B.W. Turnbull (1976). "The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data", Journal of the Royal Statistical Society, 38, 290-295.
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