Métodos e fórmulas para Estudo de estabilidade para lotes aleatórios

Selecione o método de sua escolha.

O modelo misto e a log-verossimilhança

A forma geral do modelo misto

Os modelos de efeito misto contêm efeitos fixos e aleatórios. A forma geral do modelo de efeito misto é:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notação

TermoDescrição
yo vetor n x 1 dos valores de resposta
Xa matriz de planejamento n x p dos efeitos fixos, pn
Zia matriz de planejamento n x mi do iésimo efeito aleatório no modelo
βum vetor p x 1 de parâmetros desconhecidos
μium vetor mi x 1 de variáveis independentes de N(0, σ2i)
εum n x 1 vetor de variáveis independentes de N(0, σ2i)
co número de efeitos aleatórios no modelo

Formas particulares do modelo misto

Os estudos de estabilidade ajustam dois modelos com um fator de lote aleatório. O modelo maior contém a hora, o fator de lote aleatório e a interação aleatória entre a hora e o lote.

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

O modelo menor contém a hora e o fator de lote aleatório.

y =+ Z1μ1 + ε

A matriz de variância-covariância geral do vetor de resposta, y, é:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

onde

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c são chamados componentes de variância.

Por fatoração da variância, você pode encontrar uma representação de H(θ), que está no cálculo da log-verossimilhança dos modelos mistos.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Quando o lote é um fator aleatório, as estimativas de parâmetro desconhecido vêm da minimização em dobro do negativo da função de log-verossimilhança restrita. A minimização é equivalente à maximização da função de log-verossimilhança restrita. A função para minimizar é:

Notação

TermoDescrição
no número de observações
po número de parâmetros em β, 2 para estudos de estabilidade
σ2o erro do componente de variância
Xa matriz do experimento –– para termos fixos, a constante e o tempo
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
Ina matriz de identidade com n linhas e colunas
θia razão da variância para o iésimo termo aleatório sobre a variância do erro
Zia matriz n x mi de codificações conhecidas para o iésimo efeito aleatório no modelo
mio número de níveis para o iésimo efeito aleatório
co número de efeitos aleatórios no modelo
|H(θ)|o determinante de H(θ)
X'a transposição do X
H-1(θ)o inverso de H(θ)

Transformação Box-Cox

A transformação de Box-Cox seleciona valores de lambda, conforme mostrado a seguir, que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. A transformação resultante é Y λ quando λ ≠ 0 e ln(Y) quando λ = 0. Quando λ < 0, o Minitab também multiplica a resposta transformada por -1 para manter a ordem da resposta não transformada.

O Minitab pesquisa um valor ideal entre −2 e 2. Os valores que estão fora desse intervalo podem não resultar em um ajuste melhor.

A seguir estão algumas transformações comuns onde Y é a transformação dos dados Y:

Valor lambda (λ) Transformação
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Seleção de modelo de lote aleatório

A seleção do modelo determina se a validade depende do lote e se o efeito do tempo depende do lote. O Minitab considera os seguintes três modelos em sequência:
  1. Tempo + Lote + Lote*Tempo (inclinações e interceptos desiguais para lotes)
  2. Tempo + Lote (inclinações iguais e interceptos desiguais para lotes)
  3. Tempo (inclinações e interceptos iguais para lotes)

Se a interação Lote*Tempo for significativa, a análise ajusta o primeiro modelo. Se a interação não for significativa, mas o termo do Lote for significativo no segundo modelo, a análise ajusta o segundo modelo. Caso contrário, a análise ajusta o terceiro modelo.

O teste para se deseja criar pool de lotes é ligeiramente diferente do teste para incluir lote, apesar de ambos dependerem da distribuição qui-quadrado. As fórmulas das estatísticas de teste e valores-p são as seguintes.

Teste entre modelo 1 e modelo 2

diferença - −2L2 − (−2L1)

p = 0,5 * Prob(χ21 > diferença) + 0,5 * Prob(χ22 > diferença)

Teste entre o modelo 2 e o modelo 3

diferença = −2L3 − (−2L2)

p = 0,5 * Prob(χ21 > diferença)

Notação

TermoDescrição
Laa log-verossimilhança do modelo a
po valor-p para o teste
Prob(χ21> diferença)A probabilidade de que uma variável aleatória de uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade seja maior do que a diferença
Prob(χ22> diferença)a probabilidade de que uma variável aleatória de uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade seja maior do que a diferença

Referências

  1. Searle, S.R. Casella, G. and McCuloch, C.E. (1992). Variance Components
  2. West, B.T., Welch, K.B. and Galecki, A.T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
  3. Chow, S. (2007). Statistical Design and Analysis of Stability Studies.
Ao usar esse site, você concorda com a utilização de cookies para análises e conteúdo personalizado.  Leia nossa política