Métodos e fórmulas para Análise de componentes principais

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Método de principais componentes

Na análise de componentes principais, o Minitab primeiro encontra o conjunto de autovalores ortogonais da matriz de correlação ou de covariância das variáveis. A matriz dos componentes principais é o produto da matriz de autovetores com a matriz de variáveis independentes. O primeiro componente principal é responsável pelo maior percentual da variação total de dados. O segundo componente principal é responsável pelo segundo maior percentual da variação total de dados, e assim por diante. A meta dos componentes principais é explicar a máxima quantidade de variância com o menor número de componentes.

Não unicidade de coeficientes

Os coeficientes dos componentes principais são únicos (exceto por uma mudança de sinal) se os autovalores são distintos e diferentes de zero. Se um autovalor é repetido, a "espaço abrangido" por todos os vetores dos componentes principais correspondentes ao mesmo autovalor é único, mas os vetores individuais não o são. Portanto, os coeficientes que o Minitab exibe na saída e aqueles em um livro ou outro programa podem não concordar, apesar de que os autovalores (variâncias dos componentes) serão sempre os mesmos.

Se a matriz de covariância possui posto r < p, onde p é o número de variáveis, haverá p - r autovalores iguais a zero. Os autovetores correspondentes a esses autovalores podem não ser únicos. Isso pode ocorrer se o número de observações for menor que p ou se houver multicolinearidade.

Autovetores

Os autovetores, que são compostos de coeficientes que correspondem a cada variável, são os pesos de cada variável usada para calcular os escores dos componentes principais. O autovetores são obtidos como as colunas da matriz ortogonal na decomposição espectral da matriz de covariância ou de correlação, S ou R. Mais especificamente, porque R é simétrico, existe uma matriz ortogonal V de forma que V'RV = D ou, equivalentemente, R = VDV', onde D é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores. Os autovetores são as colunas de V. Os autovetores se originam de R = V L V'.

Notação

TermoDescrição
Rmatriz de correlação
Vmatriz de autovetores
Dmatriz diagonal de autovalores

Escores

Fórmula

Escores são combinações lineares das variáveis originais que respondem pela variação nos dados.

Os escores são calculados da seguinte maneira: Z = YV

Notação

TermoDescrição
Zmatriz dos escores dos principais componentes (n × m)
Ymatriz de dados padronizados (n × p) usada no método da matriz de correlação
Vmatriz de autovalores (p × m)
Observação

Se você usar o método da matriz de covariância em vez do método da matriz de correlação (o padrão), o Minitab usa a matriz de dados brutos para Y em vez da matriz de dados padronizados.

Autovalor

Fórmula

Os autovalores são elementos diagonais da matriz diagonal na decomposição espectral da matriz de covariância ou de correlação (consulte o tópico "Autovetores"). Os autovalores também representam as variâncias amostrais dos componentes principais Z = V Y.

Notação

TermoDescrição
Zmatriz dos escores dos principais componentes (n × m)
Ymatriz de dados padronizados (n × p) usada no método da matriz de correlação
Vmatriz de autovalores (p × m)
Observação

Se você usar o método da matriz de covariância em vez do método da matriz de correlação (o padrão), o Minitab usa a matriz de dados brutos para Y em vez da matriz de dados padronizados.

Proporção

Fórmula

A proporção de variância amostral explicada pelo késimo componente principal é calculada da seguinte forma:

Notação

TermoDescrição
o késimo autovalor
po número de variáveis

Proporção acumulada

Fórmula

A proporção acumulada de variância amostral explicada pelos primeiros k componentes principais é calculada da seguinte forma:

Notação

TermoDescrição
o késimo autovalor
po número de variáveis

Distância de Mahalanobis

Fórmula

A distância de Mahalanobis mede a distância de cada ponto em espaço multivariado até a média geral ou centróide utilizando a estrutura de covariância dos dados.
O Minitab exibe uma linha de referência no gráfico de outliers para identificar outliers com grandes valores de distância de Mahalanobis. A linha de referência é definida pela seguinte fórmula:

Quando n – p – 1 é 0, o Minitab exibe o gráfico de outliers sem a linha de referência.

Notação

TermoDescrição
Yivetor do valor de dados na linha i
vetor da média
S-1inverso da matriz de covariância
po número de variáveis
no número de linhas não faltantes
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