Métodos e fórmulas para análise de variância em Análise de variabilidade

Soma de quadrados (SS)

A soma das distâncias ao quadrado. As fórmulas apresentados são para um modelo fatorial completo, de dois fatores com os fatores A e B. Estas fórmulas podem ser estendidas para modelos com mais de dois fatores. Para obter informações, consulte Montgomery1.

O SS Total é a variação total no modelo. SS (A) e SS (B) são a soma dos desvios quadrados das médias de nível de fator estimado em torno da média global. SS Erro é a soma dos quadrados dos resíduos. Também é conhecido como erro dentro de tratamentos. Os cálculos são:

Se o modelo incluir replicações, SS Erro Puro is:
Para casos diferentes do modelo fatorial completo com dois fatores, podem existir outras somas de quadrados. Se você ajustar um modelo reduzido, SS Falta de Ajuste é:
Se o modelo incluir pontos centrais, SS Curvatura é:
Em experimentos com parcelas subdivididas, a soma dos quadrados para variação do erro de parcela integral e com subdivisão:
  1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition, John Wiley & Sons.

Notação

TermoDescrição
anúmero de níveis no fator A
bnúmero de níveis no fator B
nnúmero total de replicações
média do io nível de fator A
média global de todas as observações
média do jo nível de fator B
observação do io nível de fator A, jo nível de fator B e a ka replicação
média do io nível do fator A e jo nível do fator B
resposta média para os pontos centrais
resposta média para os pontos fatoriais
nFnúmero de pontos fatoriais

Soma dos quadrados sequencial

O Minitab decompõe a o componente de Regressão SS ou Tratamentos da variância em somas dos quadrados sequenciais para cada fator. As somas dos quadrados sequenciais dependem da ordem dos fatores preditores e são inseridas no modelo. A soma dos quadrados sequencial é a parte única da Regressão SS explicada por um fator, considerando-se todos os fatores inseridos anteriormente.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores ou preditores, X1, X2 e X3, a soma dos quadrados sequencial para X2 mostra quanto da variação restante é explicada por X2, considerando-se que X1 já está no modelo. Para obter uma sequência de fatores diferente, repita a análise e insira os elementos em uma ordem diferente.

Soma dos quadrados ajustada

A soma dos quadrados ajustada não depende da ordem em que os termos são inseridos no modelo. A soma dos quadrados ajustada é a quantidade de variação explicada por um termo, tendo em conta todos os outros termos no modelo, independentemente da ordem em que os termos entram no modelo.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma ajustada dos quadrados para X2 mostra quanto da variação restante do termo para X2 é explicada, considerando-se que os termos para X1 e X3 já estão no modelo.

Os cálculos para as somas dos quadrados ajustado para três fatores são:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) ou
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

em que SSR(X3 | X1, X2) é a soma dos quadrados ajustada para X3, dado que X1 e X2 estão no modelo.

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) ou
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

em que SSR(X2, X3 | X1) é a soma dos quadrados ajustados para X2 e X3, dado que X1 está no modelo.

Você pode estender estas fórmulas se tiver mais de 3 fatores em seu modelo1.

  1. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Graus de liberdade (DF)

Para um experimento fatorial completo com fatores A e B, e uma variável de bloqueio, o número de graus de liberdade associados com cada soma dos quadrados é:

Para interações entre fatores, multiplique os graus de liberdade para os termos no fator. Por exemplo, se os fatores forem A e B, então, a interação AB tem estes graus de liberdade:
Para encontrar os graus de liberdade para um tipo de termo, some os graus de liberdade para os termos. Por exemplo, se os fatores forem A e B, então, os efeitos principais no modelo têm estes muitos graus de liberdade:

Notação

TermoDescrição
anúmero de níveis no fator A
bnúmero de níveis no fator B
cnúmero de blocos
nnúmero total de observações
ninúmero de observações para a io combinação de níveis de fatores
mnúmero de combinações de nível de fator
pnúmero de coeficientes

MS Aj – Termo

O cálculo para o quadrado médio (MS) para o termo modelo é:

F

Um teste para determinar se a interação e os efeitos principais são significativos. A fórmula para os termos do modelo é:

Os graus de liberdade do teste são:

  • Numerador = graus de liberdade do termo
  • Denominador = graus de liberdade do erro

Valores maiores de suporte de F rejeitam a hipótese nula de que não existe um efeito significativo.

Para experimentos subdivididos balanceados, a estatística F para os fatores de difícil alteração usa o MS para erro da parcela integral no denominador. Para outros experimentos subdivididos, o Minitab usa uma combinação linear do erro de parcelas integrais e do erro de parcelas subdivididas para criar um denominador baseado nas expectativas dos quadrados médios.

Valor-p – Tabela Análise de Variância

O valor-p é a probabilidade que é calculada a partir de uma distribuição-f com graus de liberdade (DF) como a seguir:

DF do numerador
soma dos graus de liberdade para o termo ou os termos do teste
DF do denominador
graus de liberdade para erro

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notação

TermoDescrição
P(Ff)função de distribuição acumulada para a distribuição F
festatística F de teste

Teste de ajuste (lack-of-fit) de erro puro

Para calcular o teste de ajuste (lack-of-fit) de erro puro, o Minitab calcula:
  1. A soma dos desvios quadrados da resposta da média dentro de cada conjunto de replicações adiciona-os juntos para criar a soma dos quadrados do erro puro (SS PE).
  2. O quadrado médio do erro puro

    onde n = número de observações e m = número de combinações de nível x distintas

  3. A soma dos quadrados do teste de ajuste (lack-of-fit)
  4. O quadrado médio do teste de ajuste (lack-of-fit)
  5. A estatística de teste

Valores de F altos e valores de p baixos sugerem que o modelo é inadequado.

Valor-p – teste de ajuste (lack-of-fit)

Este valor-p é para o teste da hipótese nula de que os coeficientes são 0 por quaisquer termos que sejam possíveis de serem estimados a partir destes dados que não estão no modelo. O valor-p é a probabilidade de uma distribuição F com graus de liberdade (DF) como a seguir:
DF do numerador
graus de liberdade do teste de ajuste (lack-of-fit)
DF do denominador
graus de liberdade para erro puro

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notação

TermoDescrição
P(Ffj)função de distribuição acumulada para a distribuição F
fjestatística F de teste
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