O que é soma de quadrados?

A soma dos quadrados representa uma medida de variação ou desvio da média. É calculada como uma soma dos quadrados das diferenças da média. O cálculo da soma total dos quadrados considera a soma dos quadrados proveniente dos fatores e da aleatoriedade ou do erro.

Soma de quadrados em ANOVA

Na análise de variância (ANOVA), a soma total dos quadrados ajuda a expressar a variação total que pode ser atribuída a vários fatores. Por exemplo, você faz um experimento para testar a eficácia de três sabões para a roupa.

A soma total dos quadrados = soma de tratamento dos quadrados (SST) + soma dos quadrados do erro residual (SSE)

A soma dos quadrados do tratamento representa a variação atribuída a, ou neste caso, entre, os sabões para roupa. A soma dos quadrados do erro residual é a variação atribuída ao erro.

A conversão da soma dos quadrados em médias quadradas dividindo-se pelos graus de liberdade permite comparar estas razões e determinar se existe uma diferença significativa devida ao sabão. Quanto maior for esta relação, mais os tratamentos afetam o resultado.

Soma dos quadrados em regressão

Na regressão, a soma total dos quadrados ajuda a expressar a variação total dos y. Por exemplo, você coleta dados para determinar um modelo que explica as vendas globais como função do seu orçamento de publicidade.

A soma total dos quadrados = regressão da soma dos quadrados (SSR) + soma dos quadrados do erro residual (SSE)

A regressão da soma dos quadrados é a variação atribuída à relação entre os x e os y ou, neste caso, entre o orçamento de publicidade e as vendas. A soma dos quadrados do erro residual é a variação atribuída ao erro.

Ao comparar a regressão da soma dos quadrados à soma total dos quadrados, você determina a proporção da variação total explicada pelo modelo de regressão (R2, o coeficiente de determinação). Quanto maior esse valor, melhor a relação que explica vendas como função do orçamento de publicidade.

Comparação de somas sequenciais de quadrados e somas ajustadas de quadrados

O Minitab decompõe a o componente de Regressão SS ou Tratamentos da variância em somas de quadrados para cada fator.
Soma sequencial de quadrados

As somas dos quadrados sequenciais dependem da ordem em que os fatores são inseridos no modelo. Ela é a parte única da Regressão SS explicada por um fator, considerando-se todos os fatores inseridos anteriormente.

Por exemplo, se você tiver um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, as somas dos quadrados sequenciais para X2 mostram o quanto da variação restante X2 explica, dado que X1 já está no modelo. Para obter uma sequência de fatores diferente, repita o procedimento de regressão inserindo os fatores em uma ordem diferente.

Soma ajustada de quadrados

A soma ajustada de quadrados não depende da ordem em que os fatores são inseridos no modelo. É a porção única da Regressão SS explicada por um fator considerando-se todos os fatores fatores no modelo independentemente da ordem em que foram inseridos no modelo.

Por exemplo, se você tem um modelo com três fatores, X1, X2 e X3, a soma ajustada dos quadrados para X2 mostra quanto da variação restante é explicada por X2, considerando-se que X1 e X3 já estão no modelo.

Quando as somas sequenciais e ajustadas dos quadrados são iguais?

As somas dos quadrados sequenciais e ajustadas são sempre as mesmos para o último termo no modelo. Por exemplo, se o seu modelo contém os termos A, B e C (nessa ordem), então ambas as somas dos quadrados para C representam a redução da soma dos quadrados dos erros residuais que ocorre quando C é adicionado a um modelo que contenha ambos A e B.

As somas sequenciais e ajustadas dos quadrados são iguais para todos os termos quando a matriz do experimento é ortogonal. O caso mais comum em que isso ocorre é com experimentos fatoriais e fatoriais fracionados (sem covariáveis) quando analisados em unidades codificadas. Nesses experimentos, as colunas na matriz do experimento para todos os efeitos principais e interações são ortogonais entre si. Experimentos de Plackett-Burman possuem colunas ortogonais para os efeitos principais (geralmente os únicos termos no modelo), mas termos de interação, se houver, podem ser parcialmente confundidos com outros termos (ou seja, não ortogonais). Em experimentos de superfície de resposta, as colunas para os termos quadrados não são ortogonais entre si.

Para qualquer experimento, se a matriz do experimento estiver em unidades não codificadas, poderá haver colunas não ortogonais a menos que os níveis dos fatores ainda sejam centralizados em zero.

A soma ajustada dos quadrados pode ser menor que, igual a ou maior que a soma sequencial dos quadrados?

A soma ajustada dos quadrados pode ser menor que, igual a ou maior que a soma sequencial dos quadrados.

Suponha que você ajuste um modelo com os termos A, B, C e A*B. Seja SS (A,B,C, A*B) a soma dos quadrados quando A, B, C e A*B estão no modelo. Seja SS (A, B, C) a soma dos quadrados quando A, B e C estão incluídos no modelo. Então, a soma ajustada de quadrados para A*B, é:

SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C)

Entretanto, com os mesmos termos A, B, C e A*B no modelo, as somas sequenciais dos quadrados para A*B depende da ordem em que os termos são especificados no modelo.

Usando uma notação similar, se a ordem for A, B, A*B e C, as somas sequenciais dos quadrados para A*B será:

SS(A, B, A*B) - SS(A, B)

Dependendo do conjunto de dados e da ordem na qual os termos são inseridos, os seguintes casos são possíveis:
  • SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) < SS(A, B, A*B) - SS(A, B), ou
  • SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) = SS(A, B, A*B) - SS(A, B), ou
  • SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) > SS(A, B, A*B) - SS(A, B)

O que é soma dos quadrados não corrigida?

Calcula o quadrado de cada valor na coluna e calcula a soma desses valores quadrados. Ou seja, se a coluna contém x1, x2, ... , xn, a soma dos quadrados é (x12 + x22+ ... + xn2). Ao contrário da soma dos quadrados corrigida, a soma dos quadrados não corrigida inclui erro. Os valores dos dados são elevados ao quadrado sem subtrair, primeiro, a média.

No Minitab, você pode usar a estatística descritiva para exibir a soma dos quadrados não corrigida. Também é possível usar a função da soma dos quadrados (SSQ) na Calculadora para calcular a soma dos quadrados não corrigida para uma coluna ou linha. Por exemplo, você está calculando uma fórmula manualmente e pretende obter a soma dos quadrados para um conjunto de variáveis de resposta (y).

Na calculadora, digite a expressão: SSQ (C1)

Armazene os resultados em C2 para ver a soma dos quadrados não corrigida. A worksheet a seguir mostra os resultados do uso da Calculadora para calcular a soma dos quadrados na coluna y.

C1 C2
y Soma dos Quadrados
2,40 41,5304
4,60  
2,50  
1,60  
2,20  
0,98  
Observação

O Minitab omite os valores faltantes do cálculo desta função.

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