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두 표본 분산 검정에 대한 방법 및 공식

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이 항목의 내용

표본 통계량

Minitab에서는 두 표본 모두의 평균, 표준 편차 및 분산을 계산합니다.

공식

표준 편차는 분산의 제곱근과 같습니다.

표기법

용어설명
표본 i의 평균
S2i 표본 i의 분산
Xij i번째 표본의 j번째 측정값
ni 표본 i의 크기

균형 설계를 사용한 Bonett의 방법에 대한 검정

검정 통계량을 위한 공식

n1 = n2인 경우 검정 통계량은 Z2입니다. 귀무 가설 ρ = ρ0이 참인 경우 Z2은 자유도가 1인 카이-제곱 분포를 따릅니다. Z2은 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 se(ρ0)는 합동 첨도의 표준 오차로, 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 ri = ( ni - 3) / ni이고 는 합동 첨도로, 다음과 같이 계산됩니다.

se2(ρ0)는 개별 표본 의 첨도 값의 관점에서 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

설명:

p-값을 위한 공식

z2을 데이터에서 얻은 Z2으로 설정합니다. 귀무 가설 H0: ρ = ρ0 하에서 Z는 표준 정규 분포를 따릅니다. 따라서 대립 가설(H1)에 대한 p-값은 다음과 같이 계산됩니다.

가설 P-값
H1: ρ0 ≠ ρ0 P = 2P(Z > |z|)
H1: ρ0 > ρ0 P = P(Z > z)
H1: ρ0 < ρ0 P = P(Z < z)

표기법

용어설명
Si표본 i의 표준 편차
ρ모집단 표준 편차의 비율
ρ0귀무 가설에서의 모집단 표준 편차의 비율
α검정의 유의 수준 = 1 - (신뢰 수준 / 100)
ni표본 i의 관측치 수
표본 i의 첨도 값
Xij표본 i의 j번째 관측치
mi표본 i에 대한 절사 평균 - 절사 비율:

불균형 설계를 사용한 Bonett의 방법에 대한 검정

공식

n1 ≠ n2인 경우에는 검정 통계량이 없습니다. 대신 p-값은 신뢰 구간 절차를 거꾸로 하여 계산됩니다. 검정의 p-값은 다음과 같이 계산됩니다.

P = 2 min (αL, αU)

여기서 αL은 다음 조건을 충족하는 가장 작은 α 값이고,
αU는 다음 조건을 충족하는 가장 작은 α 값입니다.

여기서 cα는 아래 설명된 동등화 상수이고, se(ρ0)는 합동 첨도의 표준 오차로, 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 ri = (ni - 3) / ni이고 는 합동 첨도로, 다음과 같이 계산됩니다.

se(ρ0)는 개별 표본의 첨도 값의 관점에서 표현할 수도 있습니다. 자세한 내용은 균형 설계를 사용한 Bonett의 방법에 대한 검정을 참조하십시오.

동등화 상수

상수 cα는 불균형 설계에서 비등 꼬리 오차 확률의 영향을 완화하기 위한 소규모 표본 조정으로 포함됩니다. cα 값은 다음과 같이 계산됩니다.

상수는 설계가 균형일 때 없어지고, 상수의 영향은 표본 크기가 증가함에 따라 무시할 만한 수준으로 감소합니다.

αL 및 αU 찾기

αL 및 αU를 찾는 것은 L(z , n1 , n2 , S1 , S2 ) 및 L(z , n2 , n1 , S2 , S1 ) 함수의 제곱근을 찾는 것과 같으며, 여기서 L(z , n1 , n2 , S1 , S2)는 다음과 같이 계산됩니다.

다음과 같이 설정합니다.
n1 < n2인 경우 다음을 수행하십시오.
  • zm을 계산하고 L(z, n1, n2, S1, S2)를 평가합니다.
    • L(zm) 0이면 다음 구간에서 L(z, n1, n2, S1, S2)의 제곱근 zL을 찾고 αL = P( Z > zL)를 계산합니다.
    • L(zm) > 0이면 L(z , n1, n2, S1, S2) 함수에 제곱근이 없고 αL = 0입니다.
n1 > n2인 경우 다음을 수행하십시오.
  • L(0, n1, n2, S1, S2) = ln (S12 / S22)를 계산합니다.
    • L(0, n1, n2, S1, S2) 0이면 [0, n2) 구간에서 L(z, n1, n2, S1, S2)의 제곱근 z0을 찾습니다.
    • L(0, n1, n2, S1, S2) < 0이면 다음 구간에서 제곱근 zL을 찾습니다. .
  • αL = P( Z > zL)를 계산합니다.

αU를 계산하려면 L(z, n1, n2, S1, S2) 함수 대신 L(z, n2, n1, S2, S1) 함수를 사용하여 이전 단계를 수행하십시오.

표기법

용어설명
Si표본 i의 표준 편차
ρ모집단 표준 편차의 비율
ρ0귀무 가설에서의 모집단 표준 편차의 비율
α검정의 유의 수준 = 1 - (신뢰 수준 / 100)
zα표준 정규 분포의 상위 α 백분위수 점
ni표본 i의 관측치 수
Xij표본 i의 j번째 관측치
mi표본 i에 대한 절사 평균 - 절사 비율:

Bonett의 방법에 대한 신뢰 구간

공식

신뢰 구간은 검정 절차를 거꾸로 하여 계산됩니다. 더 구체적으로 설명하면 Minitab에서는 ρ에 대해 다음 방정식을 계산합니다.

여기서 cα/2는 동등화 상수이고(아래 설명됨) se(ρ)는 합동 첨도의 표준 오차입니다(아래 설명됨). 일반적으로 이 방정식에는 두 개의 해인 L < S1 / S2와 U > S1 / S2가 있습니다. L은 신뢰 하한, U는 신뢰 상한입니다. 자세한 내용은 시뮬레이션 및 Bonett의 방법에 대한 기타 정보가 포함되어 있는 Bonett의 방법 백서를 참조하십시오.

분산 비율에 대한 신뢰 한계는 표준 편차의 비율에 대한 신뢰 한계를 제곱하여 계산됩니다.

동등화 상수

상수 cα는 불균형 설계에서 비등 꼬리 오차 확률의 영향을 완화하기 위한 소규모 표본 조정으로 포함됩니다. cα 값은 다음과 같이 계산됩니다.

상수는 설계가 균형일 때 없어지고, 상수의 영향은 표본 크기가 증가함에 따라 무시할 만한 수준으로 감소합니다.

합동 첨도의 표준 오차

se(ρ)는 합동 첨도의 표준 오차로, 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 ri = (ni - 3) / ni이고 는 합동 첨도로, 다음과 같이 계산됩니다.

se(ρ)는 개별 표본의 첨도 값의 관점에서 표현할 수도 있습니다. 자세한 내용은 균형 설계를 사용한 Bonett의 방법에 대한 단원을 참조하십시오.

표기법

용어설명
α검정의 유의 수준 = 1 - (신뢰 수준 / 100)
Si표본 i의 표준 편차
ρ모집단 표준 편차의 비율
zα/2표준 정규 분포의 상위 α/2 백분위수 점
ni표본 i의 관측치 수
Xij표본 i의 j번째 관측치
mi표본 i에 대한 절사 평균 - 절사 비율:

Levene의 방법에 대한 검정

공식

Levene의 검정은 계량형 데이터에 적합합니다. Levene의 검정은 요약 데이터에 사용할 수 없습니다.

Levene의 검정을 사용하여 σ1 / σ2 = ρ라는 귀무 가설을 검정하기 위해 Minitab에서는 Z1j 및 ρZ2j 값(여기서 j = 1, …, n1 또는 n2)에 대해 일원 분산 분석을 수행합니다.

Levene의 검정 통계량은 결과 분산 분석표의 F-통계량 값과 같습니다. Levene 검정의 p-값은 이 분산 분석표의 p-값과 같습니다.

  • H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
  • M.B. Brown and A.B. Forsythe (1974). "Robust Tests for the Equality of Variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

자유도

귀무 가설 하에서 검정 통계량은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포를 따릅니다.

DF1 = 1

DF2 = n1 + n2 – 2

표기법

용어설명
Zij|Xi j – η i|
용어설명
j1, 2, …, ni
ii1, 2
Xij개별 관측치
ηi표본 i의 중위수
σ1첫 번째 모집단의 표준 편차
σ2두 번째 모집단의 표준 편차
n1첫 번째 표본의 크기
n2두 번째 표본의 크기

Levene의 방법의 신뢰 구간

공식

계량형 데이터의 경우, Minitab에서는 다음 공식을 사용하여 모집단 표준 편차 사이의 비율(ρ)에 대한 신뢰 한계를 계산합니다. 모집단 분산 사이의 비율에 대한 한계를 구하려면 아래 값을 제곱하십시오.

비율 ≠ 귀무 가설에서의 비율이라는 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1–α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

  • 인 경우, 하한 =

    인 경우에는 하한이 존재하지 않습니다.

  • 인 경우, 상한 =

    인 경우에는 상한이 존재하지 않습니다.

비율 < 귀무 가설에서의 비율이라는 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1–α)% 신뢰 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  • 인 경우,

  • 인 경우에는 상한이 존재하지 않습니다.
비율 > 귀무 가설에서의 비율이라는 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1–α)% 신뢰 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

  • 인 경우,

  • 인 경우에는 하한이 존재하지 않습니다.

표기법

용어설명
t α n1 + n2 - 2 자유도를 갖는 t 분포의 α 임계값
ηi표본 i의 중위수
Zij 여기서 j = 1, 2, ... , ni, i = 1, 2이고 Xij는 개별 관측치입니다.
MiZij의 평균
Si2Zij의 표본 분산
vi
ρσ1 / σ2
n1첫 번째 표본 크기
n2두 번째 표본 크기

F-검정 방법에 대한 검정

F-검정은 정규 데이터에 적합합니다. F-검정을 사용하여 σ1 / σ2 = ρ라는 귀무 가설을 검정하기 위해 Minitab에서는 다음 공식을 사용합니다.

검정 통계량을 위한 공식

자유도를 위한 공식

귀무 가설 하에서 F-통계량은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포를 따릅니다.

DF1 = n1 – 1

DF2 = n2 – 1

p-값을 위한 공식

p-값은 다음과 같이 대립 가설에 따라 다르게 계산됩니다.
  • 보다 작음 대립 가설을 사용하는 단측 검정의 경우, p-값은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포에서 관측된 값보다 작거나 같은 F-통계량을 얻을 확률과 같습니다.
  • 비율이 1보다 작은 양측 검정의 경우, p-값은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포에서 관측된 값보다 작은 F-곡선 아래 면적의 두 배와 같습니다.
  • 비율이 1보다 큰 양측 검정의 경우, p-값은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포에서 관측된 값보다 큰 F-곡선 아래 면적의 두 배와 같습니다.
  • 보다 큼 대립 가설을 사용하는 단측 검정의 경우, p-값은 자유도가 DF1 및 DF2인 F-분포에서 관측된 값보다 크거나 같은 F-통계량을 얻을 확률과 같습니다.

표기법

용어설명
ρσ1 / σ2
σ1첫 번째 모집단의 표준 편차
σ2두 번째 모집단의 표준 편차
S21첫 번째 표본의 분산
S22두 번째 표본의 분산
n1첫 번째 표본의 크기
n2두 번째 표본의 크기

F-검정 방법의 신뢰 구간

데이터가 정규 분포를 따르는 경우 Minitab에서는 다음 공식을 사용하여 모집단 표준 편차 사이의 비율(ρ)에 대한 신뢰 한계를 계산합니다. 모집단 분산 사이의 비율에 대한 한계를 구하려면 아래 값을 제곱하십시오.

공식

"같지 않음" 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1 – α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

"보다 작음" 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1 – α)% 신뢰 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

"보다 큼" 대립 가설을 지정하는 경우 ρ에 대한 100(1 – α)% 신뢰 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어설명
S1첫 번째 표본의 표준 편차
S2두 번째 표본의 표준 편차
ρσ1 / σ2
n1첫 번째 표본의 크기
n2두 번째 표본의 크기
F(α/2, n2–1, n1–1)자유도가 n2–1 및 n1–1인 F-분포의 α/2 임계값.
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