적합선 그림에 대한 방법 및 공식

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이 항목의 내용

다항 회귀 모형
계수(Coef)
S
R-제곱
R-제곱(수정)
자유도(DF)
Adj SS
Adj MS – 오차
Adj MS – 회귀 분석
Adj MS – 합계
F-값
p-값 – 분산 분석표
잔차

다항 회귀 모형

공식

다음과 같은 선형, 2차 또는 3차 회귀 모형을 적합시킬 수 있습니다.

모형 유형	주문	통계적 모형
선형	첫 번째	Y = β₀+ β₁x + e
2차	두 번째	Y = β₀+ β₁x + β₂x²+ e
3차	세 번째	Y = β₀+ β₁x + β₂x²+ β₃x³+ e

곡면성을 모형화하는 또 한 가지 방법은 x 및/또는 y의 log10을 사용하여 선형, 2차 또는 3차 모형에 대한 추가 모형을 생성하는 것입니다. 또한 Y의 log10을 취하여 오른쪽 치우침 또는 일정하지 않은 잔차의 분산을 줄일 수 있습니다.

Minitab에서는 2차 또는 3차 모형을 적합하는 경우 계수를 추정하기 전에 예측 변수를 표준화합니다. 표준화하면 예측 변수 간 다중 공선성이 감소합니다. 이 경우 Minitab이 모형에서 예측 변수를 제외할 수 없을 정도로 다중 공선성이 낮아집니다. 결과에서는 표준화되지 않은 계수를 예측 변수의 원래 단위로 보여줍니다."

계수(Coef)

단순 선형 회귀 분석의 계수 또는 기울기 공식은 다음과 같습니다.

절편(b₀)의 공식은 다음과 같습니다.

행렬 항에서 다중 회귀 분석의 계수 벡터를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

b = (X'X)^-1X'y

표기법

용어	설명
y_i	i번째 관측 반응 값
	평균 반응
x_i	i번째 예측 변수 값
	평균 예측 변수
X	설계 행렬
y	반응 행렬

S

표기법

용어	설명
MSE	평균 제곱 오차

R-제곱

공식은 다음과 같이 표시됩니다.

R²은 또한 y와 의 상관 계수 제곱으로 계산할 수도 있습니다.

표기법

용어	설명
SS	제곱합
y	반응 변수
	적합 반응 변수

R-제곱(수정)

표기법

용어	설명
MS	평균 제곱
SS	제곱합
DF	자유도

자유도(DF)

모형의 각 구성 요소에 대한 자유도는 다음과 같습니다.

변동 출처	DF
회귀 분석	p
오류	n – p – 1
합계	n – 1

데이터가 특정 기준을 충족하고 모형에 하나 이상의 계량형 예측 변수나 둘 이상의 범주형 예측 변수가 포함된 경우, Minitab은 적합성 결여 검정에 자유도를 사용합니다. 기준은 다음과 같습니다.

데이터에는 예측 변수 값이 같은 관측치가 여러 개 있습니다.
데이터에는 모형에 없는 추가 항을 추정하기 위한 올바른 점이 있습니다.

표기법

용어	설명
n	관측치 수
p	모형의 계수 수(상수 제외)

Adj SS

거리 제곱의 합입니다. SS 회귀 분석은 모형에 의해 설명되는 분산의 비율입니다. SS 오차는 모형에 의해 설명되지 않으며 오차로 인한 비율입니다. SS 전체는 데이터의 총 변동입니다.

공식

SS 회귀 분석:

SS 오차:

SS 전체:

표기법

용어	설명
y_i	i번째 관측된 반응 값
	i번째 적합 반응
	평균 반응

Adj MS – 오차

오차의 평균 제곱(MS 오차 또는 MSE로 줄이고 s²로 표기함)은 적합 회귀선 주변의 분산입니다. 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어	설명
y_i	i번째 관측된 반응 값
	i^th번째 적합 반응
n	관측치 수
p	상수를 제외한 모형 내 계수의 수

Adj MS – 회귀 분석

회귀 분석의 평균 제곱(MS)에 대한 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어	설명
	평균 반응
	i번째 적합 반응
p	모형의 항 수

Adj MS – 합계

평균 제곱(MS) 합계 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어	설명
	평균 반응
y_i	i번째 관측 반응 값
n	관측치 수

F-값

F-통계량 공식은 다음과 같습니다.

F(회귀분석)
F(항)
F(적합성 결여)

표기법

용어	설명
MS 회귀 분석	현재 모형이 설명하는 반응 변동의 측도.
MS 오차	모형이 설명하지 않는 변동의 측도.
MS 항	모형의 나머지 항을 고려한 후 항이 설명하는 변동 양의 측도.
MS 적합성 결여	모형에 더 많은 항을 추가하여 모형화할 수 있는 반응의 변동 측도.
MS 순수 오차	반복된 반응 데이터의 변동 측도.

p-값 – 분산 분석표

p-값은 자유도(DF)가 다음과 같은 F 분포에서 계산되는 확률입니다.

분자 DF: 검정의 항에 대한 자유도의 합
분모 DF: 오차에 대한 자유도

공식

1 − P(F ≤ f_j)

표기법

용어	설명
P(F ≤ f)	F-분포의 누적분포함수
f	검정에 대한 f-통계량

잔차

표기법

용어	설명
e_i	i번째 잔차
	i번째 관측된 반응 값
	i번째 적합 반응