균형 분산 분석에 대한 방법 및 공식

세 개 이상의 요인에 대한 균형 분산 분석 모형은 이원 분산 분석 모형을 간단히 확장한 것입니다.

요인 A, B, C가 포함된 3-요인 균형 분산 분석 모형은 다음과 같습니다.

y_ijkm = μ + α _i+ β _j + γ _k + (αβ)_ij+ (αγ)_ik+ (βγ)_jk+ (αβγ)_ijk+ε_ijkm

요인이 고정 요인인 경우 Σα_i = 0, Σβ_j = 0, Σγ_k = 0, Σ(αβ)_ij = 0, Σ(αγ)_ik = 0, Σ(βγ)_jk = 0, Σ(αβγ)_ijk = 0이고 ε_ijkm는 독립 N(0, σ²)입니다.

요인이 변량 요인인 경우 α _i, β _j , γ_k, (αβ)_ij, (αγ)_ik, (βγ)_jk, (αβγ)_ijk이고 ε_ijkm은 독립 랜덤 변수입니다. 변수들은 평균이 0이고 분산이 V(α_i) = σ²_α,V(β _j) = σ²_β,V(γ_k) = σ²_γ, V[(αβ)_ij] = σ²_αβ, V[(αγ)_jk] = σ²_αγ, V[(βγ)_jk] = σ²_βγ, V(ε_ijkm) = σ²인 정규 분포를 따릅니다.

요인이 세 개인 모형은 요인이 네 개 이상인 모형으로 확장할 수 있습니다.

거리 제곱의 합입니다. SS 전체는 데이터의 총 변동입니다. SS (A), SS (B), SS (C)는 추정된 요인 수준 평균의 전체 평균으로부터의 변동량을 나타냅니다. 처리 간 제곱합이라고도 합니다. SS(AB), SS(AC), SS(BC) 및 SS(ABC)는 각 교호작용 항이 설명하는 변동량을 나타냅니다. SS 오차는 적합치와 실제 관측치 간의 변동량을 나타냅니다. 처리 내 오차라고도 합니다. 이 공식에서는 완전 모형이 적합하다고 가정합니다. 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어	설명
a	요인 A의 수준 수
b	요인 B의 수준 수
c	요인 C의 수준 수
n	총 시행 횟수
	요인 A의 i번째 요인 수준의 평균
	모든 관측치의 전체 평균
	요인 B의 j번째 요인 수준의 평균
	요인 C의 k번째 요인 수준의 평균
	추정된 처리 평균

계산 결과 수정된 R² 값이 음수가 될 수 있지만, Minitab에서는 이 경우 0을 표시합니다.

표기법

용어	설명
	i번째 관측된 반응 값
	i번째 적합 반응
	평균 반응
n	관측치 수
p	모형의 항 수

Minitab은 변량 요인에 대해서만 분산 성분을 계산합니다. 두 개의 변량 요인이 있는 모형은 공식을 나타내기 위해 사용됩니다.

여기서 α_i, β_j , (αβ)_ij, ε_ijk는 독립적인 랜덤 변수입니다. 이 변수들은 평균이 0이고 분산이 아래 공식으로 지정되는 정규 분포를 따릅니다.

이러한 분산이 분산 성분입니다. 이 경우 분산 성분이 0이라는 가설을 검정하십시오.

요인이 두 개인 제한된 혼합 모형의 경우 모형은 다음과 같습니다.

여기서 α_i는 고정 효과, β_j는 랜덤 효과, (αβ)_ij는 랜덤 효과, ε_ijk는 랜덤 오차입니다. 각 j에 대해 Σα _i = 0이고 Σ(αβ)_ij = 0입니다. 분산은 V(β_j) = σ²_β,V[(αβ)_ij] =[(a - 1)/a]σ²_αβ 및 V(ε_ijk) = σ²입니다. σ²_β, σ²_αβ 및 σ²는 분산 성분입니다. 고정 요인에 대한 교호작용 성분을 합하면 0으로, 이 모형이 제한된 혼합 모형이라는 것을 나타냅니다.

고정 요인 A, 변량 요인 B가 포함된 제한되지 않는 혼합 모형의 경우 다음 공식이 모형을 설명합니다.

여기서 α_i는 고정 효과이고 β_j, (αβ)_ij 및 ε_ijk는 평균이 0이고 분산이 다음과 같은 상관 관계가 없는 랜덤 변수입니다.

이러한 분산이 분산 성분입니다. 각 j에 대해 Σα _i = 0이고 Σ(αβ)_ij = 0입니다.

이 정보는 균형 모형에 대한 것입니다. 불균형적이거나 더 복잡한 모형에 대한 정보는 Montgomery¹ 및 Neter²를 참조하십시오.

1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
2. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

두 요인 A, B가 포함된 랜덤 효과 모형의 기대 평균 제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

두 요인 A(고정), B(변량)가 포함된 제한된 혼합 모형의 기대 평균 제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

고정 요인 A, 변량 요인 B가 포함된 제한되지 않는 혼합 모형의 기대 평균 제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

기대 평균 제곱 계산에 대한 일반 규칙 및 불균형적이거나 더 복잡한 모형에 대한 정보는 Montgomery¹ 및 Neter²를 참조하십시오.

1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
2. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

표기법

용어	설명
b	요인 B의 수준 수
a	요인 A의 수준 수
n	관측치 수
σ2	모형의 추정 분산
	A의 추정 분산
	B의 추정 분산
	AB의 추정 분산
	A의 고정 효과