Kruskal-Wallis 검정에 대한 방법 및 공식

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평균 순위

Minitab에서는 평균 순위를 다음과 같이 계산합니다.
  1. 가장 작은 관측치에 순위 1을 지정하고 두 번째로 작은 관측치에 순위 2를 지정하는 방식으로 결합된 표본에 순위를 매깁니다.
  2. 둘 이상의 관측치가 같은 경우 Minitab에서는 두 관측치에 모두 평균 순위를 지정합니다.
  3. 각 표본의 순위에 대한 평균을 계산합니다.

Minitab에서는 결과의 평균 순위 아래 각 그룹에 대한 값을 표시합니다.

z-값

공식

Minitab에서는 각 그룹에 대한 z-값을 다음과 같이 계산합니다.

표기법

용어설명
그룹 j의 평균 순위
모든 관측치의 평균 순위
N관측치 수
njj번째 그룹의 관측치 수

같은 값 순위매기기

같은 값은 두 개 이상의 관측치가 같을 때 발생합니다. 데이터에 같은 값이 있는 경우, Minitab에서는 다음과 같이 데이터에 순위를 매깁니다.
  1. 괸측치를 오름차순으로 정렬합니다.
  2. 같은 값이 없는 것처럼 각 관측치에 순위를 지정합니다.
  3. 같은 값의 집합인 경우, 해당하는 순위의 평균을 계산하여 이 값을 해당 집합에 있는 각 같은 값에 새 순위로 지정합니다.

표본에 2.4, 5.3, 2.4, 4.0, 1.2, 3.6, 4.0, 4.3, 4.0의 9개 관측치가 있습니다.

관측치 순위(같은 값이 없는 것으로 가정) 순위
1.2 1 1
2.4 2 2.5
2.4 3 2.5
3.6 4 4
4.0 5 6
4.0 6 6
4.0 7 6
4.3 8 8
5.3 9 9

다음 정보는 검정 통계량을 계산할 경우에도 사용됩니다.
  • 같은 값의 집합 수 = 2
  • 첫 번째 집합의 같은 값 수 = 2
  • 두 번째 집합의 같은 값 수 = 3

H

공식

귀무 가설 하에서는 자유도가 k - 1인 카이-제곱 분포가 H의 분포와 근사합니다. 관측치가 다섯 개 미만인 그룹이 없는 경우 근사가 상당히 정확합니다. H 값이 크면 일부 중위수 간의 차이가 통계적으로 유의하다는 귀무 가설의 강력한 증거가 됩니다.

Lehmann (1975)1 등 일부 저자는 데이터에 같은 값이 있을 때 H를 조정할 것을 제안합니다. Minitab에서는 데이터에 같은 값이 있을 때 H(조정)를 표시합니다.

귀무 가설 하에서는 자유도가 k - 1인 카이-제곱 분포가 H 및 H(수정)의 분포와 근사합니다.

p-값 = 1 – CDF (χ2H, df)

p-값 = 1 – CDF (χ2H(adj), df)

작은 표본의 경우 Minitab에서는 정확 표를 사용할 것을 권장합니다. 자세한 내용은 Hollander and Wolfe (1973)2을 참조하십시오.

표기법

용어설명
nj그룹 j의 관측치 수
N총 표본 크기
그룹 j의 순위 평균
모든 순위의 평균
tii번째 같은 값 집합의 같은 값 수
1 E.L. Lehmann (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks, Holden-Day.
2 M. Hollander and D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc.
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