최대우도 추정치

분포 모수의 최대우도 추정치는 모수와 관련된 우도 함수를 최대화하여 계산됩니다. 지정된 데이터 집합에 대해 분포의 우도 함수는 해당 분포 하에 데이터를 생성할 확률을 추정합니다.

Newton-Raphson 알고리즘이 분포를 정의하는 모수의 최대우도 추정치를 계산하기 위해 사용됩니다. Newton-Raphson 알고리즘은 함수의 최대값을 계산하기 위한 반복적 방법입니다. 1 그런 다음 백분위수가 분포로부터 계산됩니다.

참고

Minitab에서는 정규 분포와 대수 정규 분포를 제외한 모든 분포에 대해 최대우도 방법을 사용하여 모수 추정치를 계산합니다. 정규 분포와 대수 정규 분포의 경우에는 불편화 모수 추정치를 계산합니다.

적합도 검정

Minitab에서는 적합도 검정을 수행하기 위해 Anderson-Darling 통계량을 사용합니다.

Z = F(X)로 설정합니다 여기서 F(X)는 누적분포함수입니다. 표본 X1, .., Xn이 Z(i) = F(Xi), i=1,.., n 값을 제공한다고 가정합니다. Z(i)를 오름차순, Z(1) < Z(2) <...<Z(n)으로 재배열합니다. 그런 다음 Anderson-Darling 통계량(A2)은 다음과 같이 계산됩니다.

  • A2 = –n - (1/n) Σi[(2i – 1) log Z(i) + (2n + 1 – 2i) log (1 – Z(i))]

수정된 Anderson-Darling 적합도 검정 통계량이 각 분포에 대해 계산됩니다. p-값은 D'Agostino and Stephens2의 4.8−4.22 표를 기반으로 합니다. 표에 정확한 p-값이 없으면 Minitab에서 p-값의 범위를 사용하여 보간을 기반으로 p-값을 계산합니다.

참고

Weibull 분포를 제외한 3-모수 분포의 경우에는 Anderson-Darling 검정에 대한 p-값을 사용할 수 없습니다.

우도 비 검정

우도 비 검정은 더 큰 분포 모임의 적합치를 동일한 모임의 부분 집합과 비교하여 더 큰 분포의 경우 적합치가 유의하게 개선되는지 여부를 확인합니다. 예를 들어, 2-모수 지수 분포의 경우, 우도 비 검정은 2-모수 지수 분포 모임의 적합치를 1-모수 지수 분포 모임(두 번째 모수가 0인 부분 집합)의 적합치와 비교합니다. 2-모수 지수 분포가 적합치를 유의하게 개선하는 경우 우도 비 검정에 대한 p-값이 매우 작습니다.

우도 비 검정 통계량은 다음과 같이 계산됩니다.

A를 더 큰 분포 모임(예를 들어, 3-모수 분포 모임)에 대한 모수 벡터의 최대우도 추정치(MLE), L(A)를 로그 우도로 설정합니다. B를 해당하는 더 작은 분포 모임(예를 들어, 해당하는 2-모수 분포 모임)의 모수 벡터, L(B)를 로그 우도로 설정합니다.

우도 비 검정 통계량 = 2 * L(A) 2 * L(B).

귀무 가설 하에서 더 작은 분포 모임이 데이터를 더 잘 적합시킵니다. 우도 비 검정 통계량은 자유도 = 벡터 (A)의 크기 – 벡터 (B)의 크기인 카이-제곱 분포를 따릅니다.

1 W. Murray, Ed. (1972). Numerical Methods for Unconstrained Optimization. Academic Press.
2 M.A. Stephens (1986). Chapter 4: Tests based on EDF statistics. Goodness-of-Fit Techniques, ed. R.B. D'Agostino and M.A. Stephens.Marcel Dekker, Inc. 97-193.
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