정규 Capability Sixpack 방법

표준 편차 추정

정규 공정 능력 분석에서는 부분군 군내 표준 편차와 전체 표준 편차를 추정합니다.

부분군 내부 표준 편차

σ군내를 추정하기 위해 사용되는 방법은 부분군 크기에 따라 다릅니다.

부분군 크기 > 1인 경우 Minitab에서는 다음 방법 중 하나를 사용하여 σ군내를 추정합니다.
  • 합동 표준 편차:

    설명:

    참고

    기본 방법을 변경하고 불편화 상수를 사용하지 않을 경우 σ군내는 Sp로 추정됩니다.

    용어설명
    dSp= Σ (ni- 1)에 대한 자유도
    Xiji번째 부분군의 j번째 관측치
    ii번째 부분군의 평균
    nii번째 부분군의 관측치 수
    C4(d+1)불편화 상수
    Γ(.)감마 함수
  • 부분군 범위의 평균(Rbar):

    설명:

    n이 모두 같은 경우:

    용어설명
    rii번째 부분군의 범위
    d2 (ni) 표에 있는 불편화 상수(자세한 내용은 불편화 상수 d2(), d3(), d4()에 대한 절 참조)
    d3 (ni) 표에 있는 불편화 상수(자세한 내용은 불편화 상수 d2(), d3(), d4()에 대한 절 참조)
    nii번째 부분군의 관측치 수
  • 부분군 표준 편차의 평균(Sbar):

    설명:

    참고

    기본 설정을 변경하고 불편화 상수를 사용하지 않을 경우 σ군내는 Σ Si / 부분군의 개수로 추정됩니다.

    용어설명
    C4(ni)불편화 상수(합동 표준 편차에 정의된 대로)
    Si부분군 i의 표준 편차
    nii번째 부분군의 관측치 수
부분군 크기 = 1인 경우 Minitab에서는 다음 방법 중 하나를 사용하여 σ군내를 추정합니다.
  • 이동 범위[MR]의 평균:

    설명:

    용어설명
    Rii번째 이동 범위[MR]
    w이동 범위[MR]에 사용되는 관측치 수. 기본값은 w = 2입니다.
    d2(w)표에 있는 불편화 상수(자세한 내용은 불편화 상수 d2(), d3(), d4()에 대한 절 참조)
  • 이동 범위[MR]의 중위수:

    설명:

    용어설명
    MRii번째 이동 범위[MR]
    MRbar̅MRi의 중위수
    w이동 범위[MR]에 사용되는 관측치 수. 기본값은 w = 2입니다.
    d4(w)표에 있는 불편화 상수(자세한 내용은 불편화 상수 d2(), d3(), d4()에 대한 절 참조)
  • 연속 차이 제곱 평균(MSSD)의 제곱근:
    참고

    기본 설정을 변경하고 불편화 상수를 사용하지 않을 경우 σ군내는 다음으로 추정됩니다.

    용어설명
    di연속 차이
    C4(ni)불편화 상수(합동 표준 편차에 정의된 대로)
    C4'(ni)불편화 상수 ≈ c4(ni)(자세한 내용은 불편화 상수 c4'()에 대한 절 참조)
    N총 관측치 수
    nii번째 부분군의 관측치 수

전체 표준 편차

설명:

참고

기본적으로 Minitab에서는 σ전체를 추정할 때 불편화 상수를 사용하지 않습니다. σ전체는 S로 추정됩니다. 불편화 상수를 사용하여 전체 표준 편차를 추정하려면 공정 능력 분석을 수행할 때 추정치 하위 대화 상자에서 이 옵션을 변경할 수 있습니다. Minitab에서 항상 불편화 상수를 기본적으로 사용하도록 하려면 도구 > 옵션 > 관리도 및 품질 도구 > 표준 편차 추정을 선택한 다음 적절한 옵션을 선택하십시오.

용어설명
xiji번째 부분군의 j번째 관측치
공정 평균
nii번째 부분군의 관측치 수
C4 (N)불편화 상수(합동 표준 편차에 정의된 대로)
N(또는 Σ ni)총 관측치 수

Box-Cox 변환

Box-Cox 변환은 다음 표에 표시된 대로 표준화된 변환 변수의 표준 편차를 최소화하는 람다 값을 추정합니다. 결과 변환은 λ ҂  0일 때 Yλ, λ = 0일 때 ln Y입니다.

Box-Cox 방법은 여러 유형의 변환을 검색합니다. 다음 표에는 Y'가 데이터 Y의 변환인 몇 가지 일반적인 변환이 나와 있습니다.

람다(λ) 값 변환

Johnson 변환에 대한 알고리즘

Johnson 변환은 세 종류의 분포 중에서 최적인 분포를 선택하여 데이터가 정규 분포를 따르도록 변환합니다.

Johnson 모임 변환 함수 범위
SB γ + η ln [(x – ε) / (λ + ε – x)] η, λ > 0, –∞ < γ < ∞ , –∞ < ε < ∞, ε < x < ε + λ
SL γ + η ln (x – ε) η > 0, –∞ < γ < ∞, –∞ < ε < ∞, ε < x
SU γ + η Sinh–1 [(x – ε) / λ] , 여기서

Sinh–1(x) = ln [x + sqrt (1 + x2)]

η, λ > 0, –∞ < γ < ∞, –∞ < ε < ∞, –∞ < x < ∞

이 알고리즘에서는 다음 절차를 사용합니다.

  1. Johnson 시스템의 잠재적인 거의 모든 변환 함수를 고려합니다.
  2. Chou, et al.1
  3. 변환 함수를 사용하여 데이터를 변환합니다.
  4. 변환 데이터에 대해 Anderson-Darling 통계량과 해당 p-값을 계산합니다.
  5. 변환 대화 상자에서 지정한 p-값 기준(기본값 0.10)을 초과하는 가장 큰 p-값을 갖는 변환 함수를 선택합니다. 그렇지 않은 경우에는 변환이 적절하지 않습니다.

표기법

용어설명
SB경계 있는 변수의 Johnson 모임 분포(B)
SL대수 정규 변수의 Johnson 모임 분포(L)
SU경계 없는 변수의 Johnson 모임 분포(U)

Johnson 변환에 대한 자세한 내용은 Chou, et al1에서 확인하십시오. Minitab에서는 해당 텍스트에 사용되는 Shapiro-Wilks 정규성 텍스트를 Anderson-Darling 텍스트로 바꿉니다.

확률도, 백분위수 및 신뢰 구간에 대한 내용은 개별 분포 식별의 분포에 대한 방법 및 공식에서 확인하십시오.

불편화 상수 d2(), d3() 및 d4()

d2(N)은 표준 편차 = 1인 정규 모집단의 N개 관측치 범위의 기대값입니다. 따라서 r가 표준 편차 = σ인 정규 모집단의 N개 관측치 표본의 범위인 경우 E(r) = d2(N)σ입니다.

d3(N)은 σ = 1인 정규 모집단의 N개 관측치 범위의 표준 편차입니다. 따라서 r가 표준 편차 = σ인 정규 모집단의 N개 관측치 표본의 범위인 경우 stdev(r) = d3(N)σ입니다.

지정된 값 N에 대한 불편화 상수를 찾으려면 다음 표를 사용합니다. (N의 값을 결정하려면 관심이 있는 통계량에 대한 공식을 참조하십시오.)

N 값이 51과 100 사이에 있는 경우 d2(N)에 대해 다음 근사를 사용하십시오.
N 값이 26과 100 사이에 있는 경우 d3(N) 및 d4(N)에 대해 다음 근사를 사용하십시오.
이러한 상수에 대한 자세한 내용은 다음을 참조하십시오.
  • D. J. Wheeler and D. S. Chambers. (1992). Understanding Statistical Process Control, Second Edition, SPC Press, Inc.
  • H. Leon Harter (1960). "Tables of Range and Studentized Range". The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 31, No. 4, Institute of Mathematical Statistics, 1122−1147.
표 1. 값의 표
N d2(N) d3(N) d4(N)
2 1.128 0.8525 0.954
3 1.693 0.8884 1.588
4 2.059 0.8798 1.978
5 2.326 0.8641 2.257
6 2.534 0.848 2.472
7 2.704 0.8332 2.645
8 2.847 0.8198 2.791
9 2.97 0.8078 2.915
10 3.078 0.7971 3.024
11 3.173 0.7873 3.121
12 3.258 0.7785 3.207
13 3.336 0.7704 3.285
14 3.407 0.763 3.356
15 3.472 0.7562 3.422
16 3.532 0.7499 3.482
17 3.588 0.7441 3.538
18 3.64 0.7386 3.591
19 3.689 0.7335 3.64
20 3.735 0.7287 3.686
21 3.778 0.7242 3.73
22 3.819 0.7199 3.771
23 3.858 0.7159 3.811
24 3.895 0.7121 3.847
25 3.931 0.7084 3.883
N d2(N)
26 3.964
27 3.997
28 4.027
29 4.057
30 4.086
31 4.113
32 4.139
33 4.165
34 4.189
35 4.213
36 4.236
37 4.259
38 4.28
39 4.301
40 4.322
41 4.341
42 4.361
43 4.379
44 4.398
45 4.415
46 4.433
47 4.45
48 4.466
49 4.482
50 4.498

불편화 상수 c4() 및 c5()

c4()

c5()

표기법

용어설명
Γ()감마 함수

불편화 상수 c4'()

시그마 추정에 사용되는 MSSD 방법의 제곱근에 대한 공식에 사용되는 불편화 상수 c4'()의 값을 찾으려면 다음 표를 사용합니다.

N c4'(N) N c4'(N) N c4'(N)
2 0.79785 41 0.990797 80 0.995215
3 0.87153 42 0.991013 81 0.995272
4 0.905763 43 0.991218 82 0.995328
5 0.925222 44 0.991415 83 0.995383
6 0.937892 45 0.991602 84 0.995436
7 0.946837 46 0.991782 85 0.995489
8 0.953503 47 0.991953 86 0.995539
9 0.958669 48 0.992118 87 0.995589
10 0.962793 49 0.992276 88 0.995638
11 0.966163 50 0.992427 89 0.995685
12 0.968968 51 0.992573 90 0.995732
13 0.971341 52 0.992713 91 0.995777
14 0.973375 53 0.992848 92 0.995822
15 0.975137 54 0.992978 93 0.995865
16 0.976679 55 0.993103 94 0.995908
17 0.978039 56 0.993224 95 0.995949
18 0.979249 57 0.99334 96 0.99599
19 0.980331 58 0.993452 97 0.996030
20 0.981305 59 0.993561 98 0.996069
21 0.982187 60 0.993666 99 0.996108
22 0.982988 61 0.993767 100 0.996145
23 0.98372 62 0.993866 101 0.996182
24 0.984391 63 0.993961 102 0.996218
25 0.985009 64 0.994053 103 0.996253
26 0.985579 65 0.994142 104 0.996288
27 0.986107 66 0.994229 105 0.996322
28 0.986597 67 0.994313 106 0.996356
29 0.987054 68 0.994395 107 0.996389
30 0.98748 69 0.994474 108 0.996421
31 0.987878 70 0.994551 109 0.996452
32 0.988252 71 0.994626 110 0.996483
33 0.988603 72 0.994699 111 0.996514
34 0.988934 73 0.994769 112 0.996544
35 0.989246 74 0.994838 113 0.996573
36 0.98954 75 0.994905 114 0.996602
37 0.989819 76 0.99497 115 0.996631
38 0.990083 77 0.995034 116 0.996658
39 0.990333 78 0.995096 117 0.996686
40 0.990571 79 0.995156 118 0.996713
N c4'(N) N c4'(N) N c4'(N)
119 0.996739 160 0.997541 201 0.998016
120 0.996765 161 0.997555 202 0.998025
121 0.996791 162 0.99757 203 0.998034
122 0.996816 163 0.997584 204 0.998043
123 0.996841 164 0.997598 205 0.998052
124 0.996865 165 0.997612 206 0.998061
125 0.996889 166 0.997625 207 0.998070
126 0.996913 167 0.997639 208 0.998078
127 0.996936 168 0.997652 209 0.998087
128 0.996959 169 0.997665 210 0.998095
129 0.996982 170 0.997678 211 0.998104
130 0.997004 171 0.997691 212 0.998112
131 0.997026 172 0.997703 213 0.99812
132 0.997047 173 0.997716 214 0.998128
133 0.997069 174 0.997728 215 0.998137
134 0.997089 175 0.997741 216 0.998145
135 0.99711 176 0.997753 217 0.998152
136 0.99713 177 0.997765 218 0.99816
137 0.99715 178 0.997776 219 0.998168
138 0.99717 179 0.997788 220 0.998176
139 0.997189 180 0.9978 221 0.998184
140 0.997209 181 0.997811 222 0.998191
141 0.997227 182 0.997822 223 0.998199
142 0.997246 183 0.997834 224 0.998206
143 0.997264 184 0.997845 225 0.998214
144 0.997282 185 0.997856 226 0.998221
145 0.9973 186 0.997866 227 0.998228
146 0.997318 187 0.997877 228 0.998235
147 0.997335 188 0.997888 229 0.998242
148 0.997352 189 0.997898 230 0.99825
149 0.997369 190 0.997909 231 0.998257
150 0.997386 191 0.997919 232 0.998263
151 0.997402 192 0.997929 233 0.99827
152 0.997419 193 0.997939 234 0.998277
153 0.997435 194 0.997949 235 0.998284
154 0.99745 195 0.997959 236 0.998291
155 0.997466 196 0.997969 237 0.998297
156 0.997481 197 0.997978 238 0.998304
157 0.997497 198 0.997988 239 0.998311
158 0.997512 199 0.997997 240 0.998317
159 0.997526 200 0.998007 241 0.998323
N c4'(N) N c4'(N) N c4'(N)
242 0.99833 283 0.998553 324 0.99872
243 0.998336 284 0.998558 325 0.998723
244 0.998342 285 0.998562 326 0.998727
245 0.998349 286 0.998567 327 0.99873
246 0.998355 287 0.998571 328 0.998734
247 0.998361 288 0.998576 329 0.998737
248 0.998367 289 0.99858 330 0.99874
249 0.998373 290 0.998585 331 0.998744
250 0.998379 291 0.998589 332 0.998747
251 0.998385 292 0.998593 333 0.998751
252 0.998391 293 0.998598 334 0.998754
253 0.998397 294 0.998602 335 0.998757
254 0.998403 295 0.998606 336 0.998761
255 0.998408 296 0.998611 337 0.998764
256 0.998414 297 0.998615 338 0.998767
257 0.99842 298 0.998619 339 0.99877
258 0.998425 299 0.998623 340 0.998774
259 0.998431 300 0.998627 341 0.998777
260 0.998436 301 0.998632 342 0.99878
261 0.998442 302 0.998636 343 0.998783
262 0.998447 303 0.99864 344 0.998786
263 0.998453 304 0.998644 345 0.99879
264 0.998458 305 0.998648 346 0.998793
265 0.998463 306 0.998652 347 0.998796
266 0.998469 307 0.998656 348 0.998799
267 0.998474 308 0.99866 349 0.998802
268 0.998479 309 0.998664 350 0.998805
269 0.998484 310 0.998668 351 0.998808
270 0.998489 311 0.998671 352 0.998811
271 0.998495 312 0.998675 353 0.998814
272 0.9985 313 0.998679 354 0.998817
273 0.998505 314 0.998683 355 0.99882
274 0.99851 315 0.998687 356 0.998823
275 0.998515 316 0.99869 357 0.998826
276 0.998519 317 0.998694 358 0.998829
277 0.998524 318 0.998698 359 0.998832
278 0.998529 319 0.998701 360 0.998835
279 0.998534 320 0.998705 361 0.998837
280 0.998539 321 0.998709 362 0.99884
281 0.998544 322 0.998712 363 0.998843
282 0.998548 323 0.998716 364 0.998846
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409 0.998959 455 0.999051    
410 0.998961 456 0.999052    
1 Y. Chou, A.M. Polansky, and R.L. Mason (1998). "Transforming Nonnormal Data to Normality in Statistical Process Control", Journal of Quality Technology, 30, April, 133–141에 설명된 방법을 사용하여 함수에서 모수를 추정합니다.
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