이중 지수 평활에 대한 방법 및 공식

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모형 방정식

이중 지수 평활은 각 기간에서의 수준 성분과 추세 성분을 사용합니다. 이중 지수 평활은 두 개의 가중치(평활화 모수라고도 함)를 사용하여 각 기간의 성분을 업데이트합니다. 이중 지수 평활 방정식은 다음과 같습니다.

공식

Lt = α Yt + (1 – α) [Lt –1 + Tt –1]

Tt = γ [Lt Lt –1] + (1 – γ) Tt –1

= Lt –1 + Tt –1

첫 번째 관측치에는 번호 1이 매겨진 경우 시간 0에서의 수준 및 추세 성분 추정치가 초기화되어야 계속할 수 있습니다. 평활값을 얻는 방법을 결정하는 데 사용되는 초기화 방법에는 두 가지가 있습니다. 한 가지는 최적 가중치를 사용하는 방법이고 다른 한 가지는 지정된 가중치를 사용하는 방법입니다.

표기법

용어설명
Lt 시간 t에서의 수준 성분
α 수준 성분에 대한 가중치
Tt 시간 t에서의 추세
γ 추세에 대한 가중치
Yt 시간 t에서의 데이터 값
시간 t에서의 적합치 또는 한 단계 전 예측값

가중치

최적 ARIMA 가중치

  1. Minitab에서는 오차 제곱의 합을 최소화하기 위해 데이터에 ARIMA(0,2,2) 모형을 적합시킵니다.
  2. 그런 다음 추세 성분과 수준 성분이 후진 예측을 통해 초기화됩니다.

지정된 가중치

  1. Minitab에서는 선형 회귀 모형을 시계열 데이터(y 변수) 대 시간(x 변수)에 적합시킵니다.
  2. 이 회귀 모형에서 얻은 상수는 수준 성분의 초기 추정치이고 기울기 계수는 추세 성분의 초기 추정치입니다.

같은 근의 ARIMA(0, 2, 2) 모형에 해당하는 가중치를 지정할 경우 Holt의 방법은 Brown의 방법으로 세분화됩니다. 1

예측값

이중 지수 평활에서는 수준 및 추세 성분을 사용하여 예측값을 생성합니다. 시간 t인 지점에서 m기간 이후에 대한 예측값은 다음과 같습니다.

공식

Lt + mTt

평활에는 예측시점 시간까지의 데이터가 사용됩니다.

표기법

용어설명
Lt 시간 t에서의 수준 성분
Tt 시간 t에서의 추세 성분

예측 한계

공식

평균 절대 편차(MAD)를 기반으로 합니다. 상한 및 하한에 대한 공식은 다음과 같습니다.
  • 상한 = 예측값 + 1.96 × dt × MAD
  • 하한 = 예측값 – 1.96 × dt × MAD

표기법

용어설명
β max{α, γ)
δ 1 – β
α 수준 평활화 상수
γ 추세 평활화 상수
τ
b 0(T)
b 1(T)

MAPE

평균 절대 백분율 오차(MAPE)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAPE는 정확도를 백분율로 표시합니다.

공식

표기법

용어설명
yt 시간 t에서의 실제 값
적합치
n 관측치 수

MAD

평균 절대 편차(MAD)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAD는 데이터와 같은 단위로 정확도를 표시하여 오차의 양을 개념화하는 데 사용됩니다.

공식

표기법

용어설명
yt 시간 t에서의 실제 값
적합치
n 관측치 수

MSD

평균 제곱 편차(MSD)는 모형에 관계없이 항상 동일한 분모 n을 사용하여 계산됩니다. MSD는 매우 큰 예측 오차에 대해 MAD보다 더 민감한 측도입니다.

공식

표기법

용어설명
yt 시간 t에서의 실제 값
적합치
n 관측치 수
1 N.R. Farnum and L.W. Stanton (1989). Quantitative Forecasting Methods. PWS-Kent.
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