Weibull 분포를 사용하여 신뢰도 데이터 모형화

Weibull 분포는 신뢰도 데이터를 모형화하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 분포입니다. 이 분포는 해석하기 쉬우며 매우 유용합니다. 신뢰도 분석에서 이 분포를 사용하여 다음과 같은 질문에 대답할 수 있습니다.
  • 초기 고장 기간 동안 몇 퍼센트의 품목에 고장이 발생할 것으로 예상되는가? 예를 들어, 초기 고장 기간인 8시간 동안 몇 퍼센트의 퓨즈에 고장이 발생할 것으로 예상되는가?
  • 실제 사용 수명 단계 동안 몇 개의 보증 클레임을 예상할 수 있는가? 예를 들어, 이 타이어의 실제 사용 수명 기간인 50,000마일 동안 몇 개의 보증 클레임을 받을 것으로 예상되는가?
  • 언제 빠른 마모가 발생할 것으로 예상되는가? 예를 들어, 엔진이 마모 단계에 들어가지 않도록 하려면 언제 유지보수의 정기적인 일정을 결정해야 하는가?

Weibull 분포는 오른쪽으로 치우치거나, 왼쪽으로 치우치거나 대칭적인 데이터를 모형화할 수 있습니다. 따라서 이 분포는 진공관, 축전기, 볼베어링, 릴레이, 자재 강도 등 다양한 분야에 걸쳐 신뢰도를 평가하기 위해 사용됩니다. Weibull 분포는 또한 감소하거나 증가하거나 일정한 위험 함수를 모형화하여 품목의 수명 단계를 설명할 수 있습니다.

제품 고장이 반도체 고장과 함께 발생할 수 있는 부식과 같이 화학 반응 또는 저하 과정에 의해 야기되는 경우에는 Weibull 분포가 효과적으로 작동하지 않을 수도 있습니다. 일반적으로 이러한 상황은 로그 정규 분포를 사용하여 모형화됩니다.

Rayleigh 분포
형상 모수가 2인 Weibull 분포는 Rayleigh 분포로 알려져 있습니다. 이 분포는 입력 리턴 손실 측정값, 모듈레이션 사이드 밴드 인젝션, 캐리어 서프레션, RF 페이딩 등 커뮤니케이션 엔지니어링 분야의 측정 데이터를 설명하기 위해 주로 사용됩니다. 이 분포는 또한 전자 진공 장치의 수명 검사에 일반적으로 사용됩니다.
가장 약한 연결 모형
Weibull 분포는 또한 중요한 단계에 도달하는 첫 번째 공정에 따라 고장 시간이 결정되는, 고장으로 이어지는 동일하고 독립적인 공정이 많은 수명 분포를 모형화할 수 있습니다. 여러 결점이 궁극적인 고장 장소의 후보가 되는 이러한 '가장 약한 연결' 모형의 기반은 극단값 이론입니다. Weibull 분포는 이론적으로 가장 작은 극단값 분포에서 파생될 수 있기 때문에 축전기, 볼베어링, 릴레이, 재료 강도 고장 등 가장 약한 연결 분야에 대한 효과적인 모형을 제공할 수도 있습니다. 그러나 Weibull 분포는 하한이 0이어서 양수 값만 모형화할 수 있기 때문에 관심 변수가 음수 값을 가질 수 있는 경우에는 가장 작은 극단값 분포가 더 낫습니다.

예 1: 축전기

고장 데이터(시간)를 얻기 위해 높은 스트레스 조건에서 축전기를 검사했습니다. 고장 데이터는 Weibull 분포에 의해 모형화되었습니다.

예 2: 필라멘트

한 전구 회사에서 정상 사용 시 장기간 마모되지 않을 것으로 예상되는 백열 필라멘트를 제조합니다. 이 회사의 엔지니어는 전구 수명을 10년으로 보장하려고 합니다. 엔지니어들은 장기간 사용을 시뮬레이션하기 위해 전구에 스트레스를 가하고 각 전구에 고장이 발생할 때까지의 시간을 기록합니다.

Weibull 분포 모수, 신뢰도 함수, 위험 함수의 관계

Weibull 분포의 형상 모수 β를 조정하여 많은 수명 분포의 특성을 모형화할 수 있습니다.

0 < ß < 1

조기 고장은 제품 수명의 초기 단계에서 발생합니다. 이러한 고장으로 인해 초기 고장의 위험을 줄이기 위해 제품 "초기 고장" 기간이 반드시 필요할 수도 있습니다.
확률밀도함수

무한대에서 기하급수적으로 감소

위험 함수

초기의 높은 고장률이 시간이 지남에 따라 감소(“욕조” 모양 위험 함수의 첫 번째 부분)

ß = 1

고장률이 일정하게 유지됩니다. 랜덤 고장, 다중 원인 고장. 제품의 “실제 사용 수명”을 모형화합니다.
확률밀도함수

1/α에서 기하급수적으로 감소(α = 척도 모수)

위험 함수

제품 수명 기간 동안 고장률이 일정함(“욕조” 모양 위험 함수의 두 번째 부분)

ß = 1.5

조기 마모 고장
확률밀도함수

최대값까지 증가한 다음 감소

위험 함수

고장률 증가(초기에 가장 크게 증가)

ß = 2

제품 수명 기간 동안 마모 고장의 위험이 꾸준히 증가
확률밀도함수

Rayleigh 분포

위험 함수

고장률이 선형으로 증가

3 ≤ ß ≤4

빠른 마모 고장. 고장이 가장 많이 발생하는 제품 수명 기간의 최종 기간을 모형화합니다.
확률밀도함수

종 모양

위험 함수

빠르게 증가

ß > 10

매우 빠른 마모 고장. 고장이 가장 많이 발생하는 제품 수명 기간의 최종 기간을 모형화합니다.
확률밀도함수

극단값 분포와 유사함

위험 함수

매우 빠르게 증가

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