최소 극단값 분포를 사용하여 신뢰도 데이터 모형화

최소 극단값 분포는 동일한 임의 분포에서 수집한 매우 큰 랜덤 관측치에 대한 제한 분포입니다. 이 분포는 동일하고 독립적인 많은 공정이 고장으로 이어지고 첫 번째로 고장이 발생하는 공정에 따라 고장 시간이 결정되는 상황에 유용한 모형입니다. 이 모형은 종종 최악 또는 최약의 링크라고 합니다.

신뢰도 분석에서 최소 극단값 분포를 사용하여 다음과 같은 질문에 대답할 수 있습니다.
  • 어떤 재료가 최대 부하를 견딜 수 있는가?
  • 보증 기간 동안 몇 개의 항목이 파손될 것으로 예상되는가?
  • 각 부품의 여러 부분에서 여러 가지 강도 검사를 수행할 때 주머니를 파손하는 데 최소한의 힘은 얼마입니까?
  • 어느 케이블이 1,000파운드의 부하를 더 지탱할 수 있는가?

최소 극단값 분포는 보통 부하 및 강도와 관련된 제품 고장에 적합합니다. 극단값 분포는 최소값을 모형화하기 위해 사용됩니다. 이는 일반적으로 모집단의 대부분을 설명하는 변수가 아니라 고장으로 이어지는 극단값의 분포에 관심이 있을 경우 사용합니다. 다시 말하면 재료가 부하를 받을 때 일정하지 않은 스트레스를 야기하는 결점을 조사할 때 사용됩니다. 따라서 재료의 강도는 강도를 가장 크게 감소시키는 결점 효과와 관련이 있습니다(최약의 링크).

최소 극단값 분포와 Weibull 분포 간의 관계는 정규 분포와 로그 정규 분포 간의 관계와 유사합니다. 구체적으로 Weibull 분포를 따르는 변수의 밑을 e로 하는 로그는 최소 극단값 분포를 따릅니다.

이와 같은 동일성에도 불구하고 두 분포를 서로 바꾸어 사용할 수는 없습니다. NIST(National Institute of Standards and Technology)는 "관심 변수가 음수 또는 양수 값을 사용할 수 있는 여러 랜덤 변수의 최소값인 경우를 모형화하는 분야"에서 최소 극단값 분포를 사용할 것을 권장합니다.

한 가지 일반적인 분야는 축전기의 절연체 손상인데, 이 경우에는 여러 결함 중 하나가 결국 고장으로 이어집니다. 또 다른 예는 반도체 전선 본드인데 전선 본드는 보통 전자 부하가 극단적이거나 결합 강도가 매우 낮지 않은 한 정상 작동 조건에서는 균열 또는 과열되지 않습니다. 이와 유사하게 냉각수 튜브에도 냉각수에 적절한 열을 전달하기 위해 최소한의 두께가 있습니다. 그러나 뜨거운 연소 가스가 튜브의 점을 통해 "아주 작은 구멍"을 태우는 경우 고장이 발생합니다.

예 1: 전선 강도

길이가 같은 전선 표본의 파손 강도를 검사합니다. 검사 결과는 최소 극단값 분포를 사용하여 모형화됩니다.

예 2: 고장이 발생할 때까지의 주기

엔지니어들이 한 합금 표본에 총 300,000번의 주기를 적용하고 고장이 발생할 때까지의 주기 수를 측정합니다.

극단값 분포에 대한 확률밀도함수 및 위험 함수

확률밀도함수

극단값 분포의 경우 확률밀도함수는 보통 왼쪽으로 치우칩니다.

위험 함수

최소 극단값 분포의 위험 함수는 기하급수적으로 증가하는 고장 위험을 보여줍니다.

위험 함수는 최소 극단값 분포가 일정 기간 후 매우 빠르게 마모되는 제품을 모형화하는 데 적합하다는 것을 보여줍니다. 여기에는 마모 기간으로 알려져 있는 욕조 곡선의 마지막 단계가 포함됩니다.
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