비모수 분포 분석(임의 관측 중단)의 추정 방법에 대한 방법 및 공식

Kaplan-Meier 추정

Kaplan-Meier 추정량은 제품 한계 추정량이라고도 하며, 여러 개의 고장 및 중단이 있는 비모수 데이터 집합에 대한 생존 확률을 계산하기 위해 사용할 수 있습니다. 추정량의 방정식은 다음과 같습니다.

S(t0) = 1 및 t0 = 0.

경험적 위험 함수

위험 함수는 구간에 대한 고장률을 설명합니다. 첫 번째 관측 중단된 관측치 전의 위험 함수는 0입니다. 위험 함수는 관측 중단되지 않은 관측치에서만 변경됩니다. Minitab은 마지막 관측 중단되지 않은 데이터 점 후에는 위험 함수를 표시하지 않습니다.

같은 값이 있는 경우 Minitab은 같은 값에서 가장 큰 순위를 사용하여 위험 함수를 추정합니다. 자세한 내용은 Nelson1을 참조하십시오.

평균 수명

관측 중단되지 않은 데이터의 경우 평균 수명은 평균 고장 시간과 같습니다. 관측 중단 또는 관측 중단되지 않은 데이터와 함께 사용되는 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

또한 가장 큰 관측치가 관측 중단된 경우 Minitab에서는 가장 큰 관측 중단되지 않은 관측치의 시간을 계산에 대한 시간 한계로 간주합니다. 자세한 내용은 Lee2를 참조하십시오.

MTTF의 표준 오차

평균 수명의 표준 오차는 분산의 제곱근입니다. 모든 관측치가 관측 중단되지 않은 경우 Minitab에서는 불편화 추정치를 계산합니다.

일부 데이터가 관측 중단된 경우 분산의 불편화 추정치는 다음 공식으로 계산됩니다.

경험적 위험 함수의 형상 때문에 생존 곡선 아래 영역 Ar는 높이가 생존 함수와 같고 길이가 관측 중단되지 않은 관측치 간 구간과 같은 직사각형입니다.

표기법

용어설명
tr 순위가 r인 데이터 점의 시간
r데이터 점의 순위(가장 짧은 수명의 순위가 가장 낮음)
n전체 단위 수
δr j번째 관측치가 관측 중단된 경우 0, j번째 관측치가 관측 중단되지 않은 경우 1
c다음 관측 중단되지 않은 관측치까지 데이터 점의 수
S(tr)시간 tr에서의 경험적 생존 함수
평균 고장 스트레스
Artr 오른쪽 생존 그림 곡선 아래의 영역
m 총 관측 중단되지 않은 관측치의 수

참고 문헌

1. W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 133.

2. Elisa T. Lee (1992). Statistical Methods for Survival Data Analysis, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. 73-76.

생명표법 추정

생명표법 모형은 수명의 그룹화에 대한 정보를 표시하는 대체 비모수 분석입니다. Kaplan-Meier 방법은 한 구간의 중단이 고장 발생 후 해당 구간의 끝에서 발생한다고 가정합니다. Minitab의 생명표법 모형은 중단이 구간의 가운데에서 발생하며 구간에서 사용 가능한 단위의 수를 줄이는 효과가 있다고 가정합니다. 생명표법 방법을 사용한 생존 함수의 추정치는 다음과 같습니다.

i = 0인 경우

i > 0인 경우

경험적 위험 함수

위험 함수는 구간에 대한 고장률을 설명합니다. 생명표법 추정을 사용하여 계산이 구간의 중간점에 대한 것이라고 가정합니다. 위험 그림에서 함수는 중간점에서 중간점으로 그려집니다. 자세한 내용은 표기법 항목 다음에 나오는 참고 문헌을 참조하십시오.

표기법

용어설명
ni 구간에 포함되는 단위의 수
di 구간에 포함되지 않는 단위 수
n'i
구간의 관측 중단 수
di/n'i와 같은 사건의 조건부 확률
tmi생명표법 구간의 중간점에서의 시간
bi생명표법 구간의 길이

참고 문헌

Collett, D. (1994) Modelling Survival Data in Medical Research, Chapman and Hall.

Lee, Elisa T. (1992) Statistical Methods for Survival Data Analysis, 2nd Edition, John Wiley & Sons.

Turnbull 추정

Turnbull1, 2는 데이터에 대한 누적 분포 함수의 최대우도 추정치를 계산하기 위한 반복 알고리즘을 개발했습니다. 이 방법은 더 일반적인 상황, 예를 들어 구간이 겹치는 경우에 적용됩니다.

Minitab에서는 구간 확률의 Turnbull 추정치를 요약하는 출력을 이러한 확률의 표준 오차와 함께 표시합니다.

참고 문헌

  1. B.W. Turnbull (1976). "The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data," Journal of the Royal Statistical Society 38, pp. 290-295.
  2. B.W. Turnbull (1974). "Nonparametric Estimation of a Survivorship Function with Doubly Censored Data," Journal of the American Statistical Association 69, 345, pp. 169-173.

신뢰 구간

추정 방법에 관계없이 Minitab에서는 정규 근사를 사용하여 신뢰 구간을 계산합니다. 신뢰 구간은 다음과 같습니다.

공식

생존 확률의 추정치 zα × 추정치의 표준 오차

표기법

용어설명
zα 표준 정규 분포에 대한 상위 임계값
α 신뢰 수준
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