비선형 회귀 분석에 대한 회귀 방정식과 모수 추정치

회귀 방정식과 모수 추정치 표의 모든 통계량에 대한 정의 및 해석 방법을 확인해 보십시오.

방정식

반응과 모형의 항 간의 관계를 설명하려면 회귀 방정식을 사용합니다. 회귀 방정식은 회귀선의 대수적 표현입니다. 평균 반응 값을 계산하려면 각 예측 변수의 값을 방정식에 입력하십시오. 선형 회귀 분석과 달리 비선형 회귀 방정식 형식에는 여러 가지가 있습니다.

비선형 회귀 분석의 경우 선형 회귀 분석에 비해 각 예측 변수가 반응에 미치는 효과를 직관적으로 파악하기 어려울 수 있습니다. 선형 모형의 모수 추정치와 달리 비선형 모형의 모수 추정치에 대해서는 일관된 해석이 없습니다. 각 모수에 대한 올바른 해석은 기대 함수 및 기대 함수 내 모수의 위치에 따라 달라집니다. 비선형 모형에 하나의 예측 변수만 포함되어 있는 경우 예측 변수와 반응 사이의 관계를 확인하려면 적합선 그림을 평가하십시오.

해의 수렴이 반드시 모형 적합치가 최적이이나 오차 제곱합(SSE)이 최소라는 것을 보장하지는 않습니다. 로컬 SSE 최소값 또는 올바르지 않은 기대 함수로 인해 잘못된 모수 값에 대한 수렴이 발생할 수 있습니다. 따라서 모형 적합과 모수 값이 합리적인지 확인하려면 모수 값, 적합선 그림 및 잔차 그림을 조사하는 것이 중요합니다.

해석

이 결과에는 하나의 예측 변수와 7개의 모수 추정치가 있습니다. 반응 변수는 '팽창'이며 예측 변수는 켈빈 온도입니다. 긴 방정식이 반응 변수와 예측 변수 사이의 관계를 설명합니다. 켈빈 온도가 1도 증가할 때 구리 팽창에 미치는 영향은 시작 온도에 따라 크게 달라집니다. 온도 변경이 구리 팽창에 미치는 영향은 쉽게 요약할 수 없습니다. 예측 변수와 반응 사이의 관계를 확인하려면 적합선 그림을 평가하십시오.

켈빈 온도 값을 방정식에 입력하는 경우 구리 팽창에 대한 적합치가 산출됩니다.

방정식 팽창 = (1.07764 - 0.122693 * Kelvin + 0.00408638 * Kelvin ** 2 - 1.42627e-006 * Kelvin ** 3) / (1 - 0.00576099 * Kelvin + 0.000240537 * Kelvin ** 2 - 1.23144e-007 * Kelvin ** 3)

추정치

알고리즘이 모수 값으로 올바르게 수렴하는 경우 모수 추정치 집합이 오차 제곱합(SSE)을 최소화합니다.

해의 수렴이 반드시 모형 적합치가 최적이이나 오차 제곱합(SSE)이 최소라는 것을 보장하지는 않습니다. 로컬 SSE 최소값 또는 올바르지 않은 기대 함수로 인해 잘못된 모수 값에 대한 수렴이 발생할 수 있습니다. 따라서 모형 적합과 모수 값이 합리적인지 확인하려면 모수 값, 적합선 그림 및 잔차 그림을 조사하는 것이 중요합니다.

해석

비선형 회귀 분석의 경우 선형 회귀 분석에 비해 각 예측 변수가 반응에 미치는 효과를 직관적으로 파악하기 어려울 수 있습니다. 선형 모형의 모수 추정치와 달리 비선형 모형의 모수 추정치에 대해서는 일관된 해석이 없습니다. 각 모수에 대한 올바른 해석은 기대 함수 및 기대 함수 내 모수의 위치에 따라 달라집니다. 비선형 모형에 하나의 예측 변수만 포함되어 있는 경우 예측 변수와 반응 사이의 관계를 확인하려면 적합선 그림을 평가하십시오.

이 결과에는 하나의 예측 변수와 7개의 모수 추정치가 있습니다. 반응 변수는 '팽창'이며 예측 변수는 켈빈 온도입니다. 긴 방정식이 반응 변수와 예측 변수 사이의 관계를 설명합니다. 켈빈 온도가 1도 증가할 때 구리 팽창에 미치는 영향은 시작 온도에 따라 크게 달라집니다. 온도 변경이 구리 팽창에 미치는 영향은 쉽게 요약할 수 없습니다. 예측 변수와 반응 사이의 관계를 확인하려면 적합선 그림을 평가하십시오.

모수 추정치 모수 추정치 SE 추정치 95% CI b1 1.07764 0.170702 ( 0.744913, 1.42486) b2 -0.12269 0.012000 (-0.147378, -0.09951) b3 0.00409 0.000225 ( 0.003655, 0.00455) b4 -0.00000 0.000000 (-0.000002, -0.00000) b5 -0.00576 0.000247 (-0.006246, -0.00527) b6 0.00024 0.000010 ( 0.000221, 0.00026) b7 -0.00000 0.000000 (-0.000000, -0.00000) 팽창 = (b1 + b2 * Kelvin + b3 * Kelvin ** 2 + b4 * Kelvin ** 3) / (1 + b5 * Kelvin + b6 * Kelvin ** 2 + b7 * Kelvin ** 3)

SE 추정치

추정치의 표준 오차(SE 추정치)는 동일한 모집단에서 반복해서 표본을 추출하는 경우 얻을 수 있는 모수 추정치 간의 변동성을 추정합니다.

해석

추정치의 표준 오차는 모수 추정치의 정확도를 측정하기 위해 사용합니다. 표준 오차가 작을수록 추정치의 정확도가 높아집니다.

95% CI

이 신뢰 구간(CI)은 모형에 있는 각 모수의 실제 값이 포함될 가능성이 높은 값의 범위입니다.

표본이 랜덤이기 때문에 모집단의 두 표본에서 동일한 신뢰 구간이 생성될 가능성은 없습니다. 그러나 여러 개의 랜덤 표본을 추출하면 일정한 백분율의 신뢰 구간에는 알 수 없는 모집단 모수가 포함됩니다. 모수를 포함하는 이러한 신뢰 구간의 백분율이 해당 구간의 신뢰 수준입니다.

신뢰 구간은 다음 두 부분으로 구성됩니다.
점 추정치
이 단일 값은 표본 데이터를 사용하여 모집단 모수를 추정합니다. 신뢰 구간은 점 추정치를 중심으로 합니다.
오차 한계
오차 한계는 신뢰 구간의 너비를 정의하며 표본에서 관측된 변동성, 표본 크기 및 신뢰 수준에 의해 결정됩니다. 신뢰 구간의 상한을 계산하기 위해 오차 한계를 점 추정치에 더합니다. 신뢰 구간의 하한을 계산하기 위해 오차 한계를 점 추정치에서 뺍니다.

해석

신뢰 구간을 사용하여 각 모수 추정치의 추정치를 구할 수 있습니다.

예를 들어, 95% 신뢰 수준에서 신뢰 구간에 모집단에 대한 모수의 값이 포함된다고 95% 확신할 수 있습니다. 신뢰 구간은 결과의 실제 유의성을 평가하는 데 도움이 됩니다. 해당 상황에 실제적으로 유의한 값이 신뢰 구간에 포함되는지 여부를 확인하려면 전문 지식을 이용하십시오. 신뢰 구간이 너무 넓어서 유의하지 않은 경우에는 표본 크기를 늘려보십시오.

모수 추정치가 통계적으로 유의한지 여부를 확인하려면 모수에 대한 신뢰 구간을 사용하십시오. 귀무 가설 값이 범위에서 제외되면 모수가 통계적으로 유의합니다. Minitab은 비선형 회귀 분석에서 모수에 대한 p-값을 계산할 수 없습니다. 선형 회귀 분석의 경우 각 모수에 대한 귀무 가설 값은 0이며, p-값은 이 값을 기준으로 하지만 아무런 효과가 없습니다. 그러나 비선형 회귀 분석에서 각 모수의 올바른 귀무 가설 값은 기대 함수 및 기대 함수 내 모수의 위치에 따라 달라집니다.

일부 데이터 집합에는 기대 함수, 신뢰 수준, 하나의 신뢰 한계 또는 두 신뢰 한계가 모두 존재하지 않을 수 있습니다. Minitab은 세션 창에서 결측 결과를 별표로 나타냅니다. 신뢰 구간에 한쪽 한계가 없을 경우 신뢰 수준을 낮추면 양측 구간이 생길 수 있습니다.

모수 추정치에 대한 상관 행렬

이 행렬은 모수 추정치 간 상관 관계를 표시합니다. 모수 추정치 간 상관 관계가 높은 경우 모수의 수를 줄여서 모형을 단순화해 보십시오.

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