이항 적합선 그림의 추정된 방정식에 대한 방법 및 공식

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계수

계수의 최대우도 추정치를 구하는 방법은 두 가지입니다. 한 방법은 계수에 대한 우도 함수를 직접 극대화하는 방법입니다. 이 식은 계수에서 비선형입니다. 다른 방법은 Minitab에서 계수 추정치를 구하기 위해 사용하는 방법인 반복 재가중 최소 제곱 방식입니다. McCullagh와 Nelder1는 두 방법이 동등함을 증명합니다. 그러나 반복 재가중 최소 제곱 방법은 이행하기가 더 쉽습니다. 자세한 내용은 1을 참조하십시오.

[1] P. McCullagh and J. A. Nelder (1989). Generalized Linear Models, 2nd Ed., Chapman & Hall/CRC, London.

계수 표준 오차

i 번째 계수의 표준 오차는 분산-공분산 행렬의 i 번째 대각 요소입니다. 분산-공분산 행렬의 형식은 다음과 같습니다.

W는 대각 요소가 다음 공식에 의해 정해지는 대각 행렬입니다.

설명

이 분산-공분산 행렬은 Fisher의 정보 행렬이 아닌 관측된 Hessian 행렬에 기반을 두고 있습니다. Minitab에서는 관측된 Hessian 행렬을 사용하는데, 결과로 생성된 모형이 조건적 평균 오규격에 대해 더 로버스트하기 때문입니다.

정규 연결을 사용할 경우 관측된 Hessian 행렬과 Fisher의 정보 행렬은 동일합니다.

표기법

용어설명
yii 번째 행에 대한 반응 값
i 번째 행에 대한 추정 평균 반응
V(·)아래 표에 제공된 분산 함수
g(·)연결 함수
V '(·)분산 함수의 일차 도함수
g'(·)연결 함수의 일차 도함수
g''(·)연결 함수의 이차 도함수

분산 함수는 모형에 따라 다릅니다.

모형 분산 함수
이항 분포
포아송 분포

자세한 내용은 [1] 및 [2]에서 확인하십시오.

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

이항 로지스틱 회귀 분석에 대한 승산비

승산비는 이항 반응이 포함된 모형에 대해 로짓 연결 함수를 선택하는 경우에만 제공됩니다. 이 경우 승산비는 예측 변수와 반응 간의 관계를 해석하는 데 있어 유용합니다.

승산비(τ)는 음수가 아닌 숫자입니다. 승산비 = 1은 비교 기준으로 사용됩니다. τ = 1이면 반응과 예측 변수 간에 연관성이 없습니다. τ < 1이면 요인의 기준 수준(또는 계량형 예측 변수)에 대한 사건의 확률이 더 높습니다. τ > 1이면 요인의 기준 수준(또는 계량형 예측 변수)에 대한 사건의 확률이 더 작습니다. 값이 1에서 멀리 떨어질수록 더 강한 연관도를 나타냅니다.

참고

공변량 또는 요인이 1개인 이항 로지스틱 회귀 모형의 경우 추정된 승산비는 다음과 같습니다.

지수 관계는 β에 대한 해석을 제공합니다 x가 한 단위 증가할 때마다 확률이 eβ1씩 증가합니다. 승산비는 exp(β1)와 같습니다.

예를 들어, β가 0.75인 경우 승산비는 exp(.75) = 2.11입니다. 이는 x가 한 단위 증가할 때마다 승산비가 111% 증가한다는 것을 나타냅니다.

표기법

용어설명
데이터의 i번째 행에 대해 추정된 성공 확률
추정된 절편 계수
예측 변수 x에 대해 추정된 계수
i번째 행에 대한 데이터 점

분산-공분산 행렬

d가 예측 변수의 수 더하기 1인 d x d 행렬. 각 계수의 분산은 대각 셀에 있고 각 계수 쌍의 공분산은 해당 대각 외 셀에 있습니다. 분산은 계수 제곱의 표준 오차입니다.

분산-공분산 행렬은 정보 행렬의 역행렬의 마지막 반복에서 나옵니다. 분산-공분산 행렬의 형식은 다음과 같습니다.

W는 대각 요소가 다음 공식에 의해 정해지는 대각 행렬입니다.

설명

이 분산-공분산 행렬은 Fisher의 정보 행렬이 아닌 관측된 Hessian 행렬에 기반을 두고 있습니다. Minitab에서는 관측된 Hessian 행렬을 사용하는데, 결과로 생성된 모형이 조건적 평균 오규격에 대해 더 로버스트하기 때문입니다.

정규 연결을 사용할 경우 관측된 Hessian 행렬과 Fisher의 정보 행렬은 동일합니다.

표기법

용어설명
yi i 번째 행에 대한 반응 값
i 번째 행에 대한 추정 평균 반응
V(·)아래 표에 제공된 분산 함수
g(·)연결 함수
V '(·)분산 함수의 일차 도함수
g'(·)연결 함수의 일차 도함수
g''(·)연결 함수의 이차 도함수

분산 함수는 모형에 따라 다릅니다.

모형 분산 함수
이항 분포
포아송 분포

자세한 내용은 [1] 및 [2]에서 확인하십시오.

[1] A. Agresti (1990). Categorical Data Analysis. John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh and J.A. Nelder (1992). Generalized Linear Model. Chapman & Hall.

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