요인 설계 분석의 모형 정보에 대한 방법 및 공식

설계 행렬

Minitab에는 회귀 분석을 사용하여 사용자가 지정한 모형을 적합하는 일반 선형 모형(GLM)에 사용되는 것과 같은 방법을 설계 행렬에 사용합니다. Minitab에서는 먼저 사용자가 지정한 요인 및 모형에서 설계 행렬을 만듭니다. X라는 이 행렬의 행들이 모형의 항을 나타냅니다.

설계 행렬에는 n개의 행과(여기서 n = 관측치 수) 모형의 항에 해당하는 여러 개의 열 블럭이 있습니다. 첫 번째 블럭은 상수 블럭이며 모두 1로 구성된 열 하나만을 포함하고 있습니다. 계량형 요인에 대한 블럭에도 하나의 열만 포함됩니다. 범주형 요인에 대한 열의 블럭에는 r개의 열이 포함되며, 여기서 r = 요인의 자유도입니다.

예를 들어, 일반 완전 요인 설계에 수준이 세 개 이상인 요인이 있을 수 있습니다. 요인 A에 4개의 수준이 있다고 가정합니다. 이 경우 자유도는 3이고 이 블럭에는 A1, A2, A3이라는 3개의 열이 포함됩니다. 각 행은 다음 중 하나로 코드화됩니다.

A 수준 A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 -1 -1 -1

교호작용 항에 대한 열을 계산하려면 교호작용의 요인에 해당하는 모든 열을 곱하십시오. 예를 들어, 요인 A의 수준이 6개이고, C의 수준이 3개이고, D의 수준이 4개라고 가정합니다. 이 경우 A * C * D 항에는 5 x 2 x 3 = 30개의 열이 있습니다. 이러한 더미 변수를 구하려면 A의 각 열과 C의 각 열, D의 각 열을 곱하십시오.

효과

각 요인에 대해 추정된 효과입니다. 효과는 2-수준 모형에 대해서만 계산되며 일반 요인 모형에 대해서는 계산되지 않습니다. 요인의 효과에 대한 공식은 다음과 같습니다.

효과 = 계수 * 2

계수

회귀 방정식의 모집단 회귀 계수의 추정치입니다. 각 요인에 대해 Minitab에서는 k - 1개의 계수를 계산합니다(여기서 k는 요인의 수준 수임). 2-요인, 2-수준, 완전 요인 모형의 경우 요인 및 교호작용의 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.

이 2-요인, 2-수준, 완전 요인 모형에 대한 계수의 표준 오차는 다음과 같습니다.

요인이 3개 이상인 모형 또는 수준이 3개 이상인 요인에 대한 자세한 내용은 Montgomery1에서 확인하십시오.

표기법

용어설명
요인 A의 높은 수준에서 y의 평균
모든 관측치의 전체 평균
요인 B의 높은 수준에서 y의 평균
A와 B의 높은 수준에서 y의 평균
MSE평균 제곱 오차
n추정된 항에 대한 (공변량 행렬의) -1과 1의 수

Box-Cox 변환

Box-Cox 변환은 아래와 같이 잔차 제곱합을 최소화하는 람다 값을 선택합니다. 결과 변환은 λ ≠ 0일 때 Y λ, λ = 0일 때 ln(Y)입니다. λ < 0인 경우 Minitab에서는 변환되지 않은 반응의 순서를 유지하기 위해 변환된 반응에 −1을 곱합니다.

Minitab은 -2와 2 사이의 최적 값을 검색합니다. 이 구간을 벗어나는 값의 결과는 더 적합하지 않을 수 있습니다.

Y'가 데이터 Y의 변환인 일반적인 변환의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

람다(λ) 값 변환
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

가중 회귀 분석

가중 최소 제곱법은 분산이 일정하지 않은 관측치를 처리하기 위한 방법입니다. 분산이 일정하지 않으면 관측치는 다음과 같은 경우 중 하나로 처리됩니다.

  • 큰 분산에는 상대적으로 작은 가중치를 부여해야 합니다.
  • 작은 분산에는 상대적으로 큰 가중치를 부여해야 합니다.

일반적으로 반응의 순수 오차 변동의 역이 가중치로 선택됩니다.

추정된 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.
이는 가중 SS 오차를 최소화하는 것과 같습니다.

표기법

용어설명
X설계 행렬
X'설계 행렬의 전치
W대각선에 가중치가 있는 n x n 행렬
Y반응 값의 벡터
n관측치 수
wii번째 관측치에 대한 가중치
yii번째 관측치에 대한 반응 값
i번째 관측치에 대한 적합치
1 D. C. Montgomery (1991) Design and Analysis of ExperimentsThird Edition, John Wiley & Sons.
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