일반 선형 모형 적합의 모형에 대한 방법 및 공식

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GLM 모형

행렬 항에서 일반 선형 회귀 모형에 대한 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
Y반응값의 벡터
X설계 행렬
β모수의 벡터
ε독립 정규 랜덤 변수의 벡터

설계 행렬

일반 선형 모형에서는 회귀 분석 방법을 사용하여 사용자가 지정한 모형을 적합시킵니다. Minitab에서는 먼저 요인과 공변량으로 설계 행렬을 만들고 사용자가 지정한 모형을 만듭니다. 이 행렬의 열은 회귀 분석을 위한 예측 변수가 됩니다.

설계 행렬에는 n개의 행(여기서 n = 관측치 수)과 모형의 항에 해당하는 여러 개의 열 블럭이 있습니다. 첫 번째 블럭은 상수 블럭이며 모두 1로 구성된 열 하나만을 포함하고 있습니다. 공변량 블럭에도 공변량 열 자체를 나타내는 하나의 열이 있습니다. 요인에 대한 열 블럭은 r개의 열(여기서 r = 요인에 대한 자유도)을 포함하며 다음 예에 표시된 것과 같이 코드화됩니다.

요인 A에 4개의 수준이 있다고 가정합니다. 이 경우 자유도는 3이고 이 블럭에는 A1, A2, A3이라는 3개의 열이 포함됩니다.

A 수준 A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 –1 –1 –1

요인 B는 수준이 3개이며 요인 A의 각 수준 내에 내포된다고 가정합니다. 그러면 이 블럭에는 (3 - 1) x 4 = 8개의 열(B11, B12, B21, B22, B31, B32, B41, B42)이 포함되며 이 블럭은 다음과 같이 코드화됩니다.

A 수준 B 수준 B11 B12 B21 B22 B31 B32 B41 B42
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 0 0 0 0
1 3 –1 –1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 2 0 0 0 1 0 0 0 0
2 3 0 0 –1 –1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 1 0 0 0
3 2 0 0 0 0 0 1 0 0
3 3 0 0 0 0 –1 –1 0 0
4 1 0 0 0 0 0 0 1 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0 1
4 3 0 0 0 0 0 0 –1 –1

교호작용 항에 대한 열을 계산하려면 교호작용의 요인 및/또는 공변량에 대한 모든 해당 열을 곱하면 됩니다. 예를 들어, 요인 A의 수준이 6개이고, 요인 C의 수준이 3개이고, 요인 D의 수준이 4개이며, 요인 Z와 W가 공변량이라고 가정합니다. 이 경우 A * C * D * Z * W * W 항에는 5 x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 = 30개의 열이 있습니다. 이러한 더미 변수를 구하려면 A의 각 열과 C의 각 열, D의 각 열을 곱하고, 공변량 Z를 한 번, 공변량 W를 두 번 곱하면 됩니다.

Box-Cox 변환

Box-Cox 변환은 아래와 같이 잔차 제곱합을 최소화하는 람다 값을 선택합니다. 결과 변환은 λ ≠ 0일 때 Y λ, λ = 0일 때 ln(Y)입니다. λ < 0인 경우 Minitab에서는 변환되지 않은 반응의 순서를 유지하기 위해 변환된 반응에 −1을 곱합니다.

Minitab은 -2와 2 사이의 최적 값을 검색합니다. 이 구간을 벗어나는 값의 결과는 더 적합하지 않을 수 있습니다.

Y'가 데이터 Y의 변환인 일반적인 변환의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

람다(λ) 값 변환
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

가중 회귀 분석

가중 최소 제곱법은 분산이 일정하지 않은 관측치를 처리하기 위한 방법입니다. 분산이 일정하지 않으면 관측치는 다음과 같은 경우 중 하나로 처리됩니다.

  • 큰 분산에는 상대적으로 작은 가중치를 부여해야 합니다.
  • 작은 분산에는 상대적으로 큰 가중치를 부여해야 합니다.

일반적으로 반응의 순수 오차 변동의 역이 가중치로 선택됩니다.

추정된 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.
이는 가중 SS 오차를 최소화하는 것과 같습니다.

표기법

용어설명
X설계 행렬
X'설계 행렬의 전치
W대각선에 가중치가 있는 n x n 행렬
Y반응 값의 벡터
n관측치 수
wii번째 관측치에 대한 가중치
yii번째 관측치에 대한 반응 값
i번째 관측치에 대한 적합치
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