T²管理図の方法と計算式

サブグループデータ

データがサブグループにある場合、 T² は次のように計算されます。

ここで、

は の平均ベクトルである。 ( x_jk 値の平均) は、次のように計算されます。

S = サンプル共分散行列

サンプル共分散行列 Sは、次のように計算されます。

ここで、

ここで、

では、 k番目のサンプルにおける j^番目の 特性のサンプル分散は、次のように計算されます。

ここで、

ここで、

、共分散、=

S行列の平均は、工程が正常に管理されているときの分散の不偏推定値です。 n は p より大きくなければならず、サンプル共分散行列が特異にならないように、変数間に強い相関があってはなりません。

データがサブグループにある場合、管理図には、個々の観測値であるサブグループの欠損値が表示されます。

個々の観測値の場合

データが個々の観測値の場合、 T² は次のように計算されます。

ここで、

ここで、

表記

用語	説明
n	サンプルサイズ
	サンプル平均ベクトル
xijk	k番目の 試料における j番目の特性に関する i番目の 観察
m	サンプル数

管理図にT²統計量をプロットします。プロットされた点が管理限界を超える場合、工程はこの点で管理外になります。Minitabの計算については、表とサンプルの式を参考にしてください。

次のデータは、洗浄液の開発処理から発生します。クエン酸ナトリウムとグリセリンの量は、洗浄液の効能に影響を与えます。

1. X₁とX₂の変数ごとにサブグループ平均を計算します。この場合、サブグループごとに4つのサンプルがあります。
2. 個々の観測値がある場合、すべての計算でサブグループ平均の代わりにそれらの観測値が使用されます。
3. S_{1 2}とS_{2 2}のサブグループ分散を計算します。
4. S_{1 2 k}のサブグループ共分散を計算します。
5. サブグループ平均の平均、サブグループ分散の平均、共分散の平均を計算します。
6. 共分散行列のサンプルSと平均ベクトルを指定します。
7. 以下で与えられるCT²を計算します。

   

T²管理図にT²をプロットして、管理限界と比較して個々の点が管理外かどうかを判断します。

T²管理図の中心線はKXです。KとXの計算は、最大サンプルサイズ、およびMinitabでデータから共分散行列が推定されるかどうかによって異なります。

サブグループデータ

サブグループデータの場合、KXは次のように計算されます。

与えられた共分散行列

推定される共分散行列

個々の観測値

データが個々の観測値の場合、KXは次のように計算されます。

与えられた共分散行列

推定される共分散行列

ここで、

表記

用語	説明
P	変数の数
M	サブグループ数
N	サンプルサイズ
	分子の自由度がu、分母の自由度がvの逆累積F分布
	第1形状パラメータがα、第2形状パラメータがβの逆累積ベータ分布

サブグループデータ

パラメータを指定しない場合の上側管理限界:

パラメータを指定した場合の上側管理限界:

個々の観測値

パラメータを指定しない場合の上側管理限界:

ここで、

詳細は、Woodallらによる¹を参照してください。

パラメータを指定した場合の上側管理限界:

表記

分解されたT²統計量：

ここで、

ここで、

x_i^{(p − 1)}は分解された平均ベクトル

S_xxはSの(p – 1) × (p – 1)主小行列

T²_{p|1,..., p−1}は、フェーズ、およびサブグループまたは個々の観測値を持つかどうかによって異なる近似値です。

データのフェーズ1は次のサブグループです。

データのフェーズ2は次のサブグループです。

個々の観測値のフェーズ1：

個々の観測値のフェーズ2：

パラメータ推定値を指定しない場合はフェーズ1の管理限界が計算され、指定する場合はフェーズ2の管理限界が計算されます。

分解されたT²統計量の詳細は、Masonらの²を参照してください。

表記

Box-coxの計算式

Box-Cox変換を使用する場合、Minitabでは、次の計算式に従って元のデータ値（Y_i）を変換します。

ここでλは、変換のパラメータです。次にMinitabでは、変換されたデータ値（W_i）の管理図を作成します。Minitabでλの最適値を選択する方法については、Box-Cox変換の方法と計算式を参照してください。

共通のλ値

次の表に、使用される一般的なλの値とその変換式を示します。

λ	変換
2
0.5
0
−0.5
−1