2値ロジスティックモデルの適合の診断測度の方法と計算式

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ピアソン残差

不適合な因子/共変量パターンを検出するために使用できるピアソンカイニ乗の要素。Minitabでは、i番目の因子/共変量パターンのピアソン残差を保存します。計算式は以下になります。

表記

用語説明
yii番目の因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子/共編量パターンの適合値
Vにおけるモデルの分散関数

分散関数は以下のモデルによって変わります。

モデル 分散関数
二項
ポアソン

標準化ピアソン残差と削除ピアソン残差

不適合な因子/共変量パターンを検出するために使用します。Minitabには、i番目の因子/共変量パターンの標準化ピアソン残差が保存されます。削除ピアソン残差は尤度比ピアソン残差とも呼ばれます。削除ピアソン残差の場合、プレジボンで説明されているワンステップ近似を計算します。1この近似は標準化ピアソン残差と等しいです。計算式は以下になります。

表記

用語説明
i番目の因子/共変量パターンのピアソン残差
1(二項モデル、ポアソンモデルの場合)
i番目の因子/共編量パターンのてこ比

検証の標準化ピアソン残差

検証データの場合、標準化ピアソン残差の計算式の分母では、てこ比を引かずにてこ比を足します。

計算式

表記

用語説明
the Pearson residual for the i番目 validation row
1, for the binomial and Poisson models
the leverage for the i番目 validation row

逸脱残差

逸脱残差はモデル逸脱度を基にしており、不適合の因子/共変量パターンを特定するのに役立ちます。モデル逸脱度は、対数尤度関数に基づいた適合度統計量です。i番目の因子/共変量パターンに対して定義される逸脱残差は以下になります。

表記

用語説明
yi i番目の因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子/共編量パターンの適合値
i番目の因子/共編量パターンの逸脱度

標準化逸脱残差

標準化逸脱残差は外れ値の特定に役立ちます。計算式は以下になります。

表記

用語説明
rD,ii番目の因子/共編量パターンの逸脱残差
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比

検証の標準化逸脱残差

検証データの場合、標準化逸脱残差の計算式の分母では、てこ比を引かずにてこ比を足します。

計算式

表記

用語説明
rD,iThe deviance residual for the i番目 validation row
hiThe leverage for the i番目 validation row

削除逸脱残差

削除された逸脱残差は、データからのi番目の省略による逸脱の変更を測定します。削除された逸脱残差は尤度比逸脱残差とも呼ばれます。削除された逸脱残差については、Minitabではプレジボン1段階近似法1に基づいて、1段階近似が計算されます。計算式は次のとおりです。

表記

用語説明
yii番目にある因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子共編量パターンの適合値
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比
r'D,ii番目の因子/共変量パターンの標準化された逸脱残差
r'P,ii番目の因子/共変量パターンの標準化されたピアソン残差

1. Pregibon, D. (1981). "Logistic Regression Diagnostics." The Annals of Statistics, Vol. 9, No. 4 pp. 705–724.

χ2(デルタカイ二乗)

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することによる、ピアソンカイ二乗の変化量を計算します。データの異なる因子/共変量パターンごとに1つの⊿χ2(デルタカイ二乗)値が保存されます。⊿χ2を使用して、不適合な因子/共変量パターンを検出できます。⊿χ2の計算式は以下になります。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rj ピアソン残差

⊿逸脱度

Minitabでは、j番目の因子/共変量パターンの全ての観測値を削除することにより、逸脱量の変化を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値を保存します。不適合因子/共変量パターンの検出に、⊿逸脱度を使用します。逸脱量の変化は以下の通りです。

表記

用語説明
hjてこ比
rjピアソン残差
dj逸脱残差

⊿ベータ(標準化)

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することで、変化量を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値が保存されます。標準化された⊿βを使用して、係数の推定値に強い影響を与える因子/共変量パターンを検出できます。この値は、標準化されたピアソン残差に基づいています。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rs j 標準化されたピアソン残差

⊿ベータ

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することで、変化量を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値が保存されます。⊿βを使用して、係数の推定値に強い影響を与える因子/共変量パターンを検出できます。この値は、ピアソン残差に基づいています。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rj ピアソン残差

てこ比

てこ比は、一般化されたハット行列の対角要素です。てこ比は、結果に有意な影響を与える可能性のある因子/共編量パターンを検出するのに役立ちます。

計算式

表記

用語説明
wj 係数を適合させることにより得られる重み行列のj番目の対角要素
xjj行目の計画行列
X計画行列
X'Xの転置
W係数の推定から得られる重み行列

検証のてこ比

表記

用語説明
wi the internal weight for the i番目 validation row
xithe row of the design matrix for the predictors in the i番目 validation row
Xthe design matrix for the training data set
X'the transpose of X
Wthe diagonal matrix of internal weights for the training data set

Cookの距離

Minitabでは、Cookの距離の近似値を計算します。

計算式

表記

用語説明
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比
i番目の因子/共変量パターンの標準化されたピアソン残差
p回帰自由度

DFITS

適合値を削除することによる影響の測定。DFITSの値が大きい観測値は外れ値になることがあります。Minitabでは、DFITSの近似値を計算します。

計算式

表記

用語説明
hiデータ点のてこ比
データ点の削除ピアソン残差

分散拡大係数(VIF: Variance Inflation Factor)

VIFを求めるには、予測変数と残りの予測変数の加重回帰を実行します。重み行列はマカラおよびネルダー1の係数の推定で示される行列です。この場合、VIFの計算式は線形回帰の計算式と同等になります。たとえば、予測変数xjの場合VIFを求める計算式は次のようになります。

表記

用語説明
xjを応答変数、モデル内の他の項を予測変数とする決定係数

1. P. McCullagh and J. A. Nelder (1989年)。 Generalized Linear Models, 2nd Edition, Chapman & Hall/CRC, London.

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